数学背景：
整除的定义：
任给两个整数a,b,其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式
a = bq
成立，我们就说是b整除a,记做b|a.
性质1：如果c|a,c|b,且对于任意的整数m,n,则有c|ma + nb
证明： 利用上述定义进行证明
因为c|a ,c|b，所以有a = c*q1,b = c*q2,
对于任意m,n有，ma+nb = m(c*q1) + n(c*q2) = c(m*q1 + n*q2),
因为m*q1 +n*q2为整数，很显然有 c|ma + nb .
带余除法： 设a,b 是两个整数，其中b > 0 ,则存在两个唯一的整数q和r，使得
a = b*q + r, 0≤ r < b
成立.
公因数和最大公因数的定义：
设a1,a2,a3,......,an是n个不全为0的整数，若整数d是它们之中每一个数的因数，那么d就叫做a1,a2,a3,......,an的一个公因数.这时它们的公因数只有有限个，整数a1,a2,a3,......,an的公因数中最大的一个叫做最大公因数，记做（a1,a2,a3,......,an）,若（a1,a2,a3,......,an）=1，我们说a1,a2,a3,......,an互素.
定理1：设a,b,c是任意三个不全为零的整数，且 a = bq + c,其中q是整数，则(a,b) = (b,c).也就是说，a和b的最大公因数等于b和c的最大公因数.
证明： 因为(a,b)是a和b的最大公因数，所以(a,b)|a,且(a,b)|b,由于c = a - bq,所以由性质1可以知道(a,b)|c，所以可以看到，(a,b)是b,c的一个公因数,而由公因数的定义可以知道 (b,c)是b,c的最大公因数，任何公因数都是小于最大公因数的，所以(a,b) ≤ (b,c).
同样的道理可以证明 (b,c) ≤(a,b).
因此有(a,b) = (b,c)
辗转相除法：给任意整数 a > 0,b >0, 由带余除法，有以下等式
a = b*q1 + r1, 0 < r1 < b,
b = r1*q2 + r2, 0 < r2 < r1,
r1 = r2*q3 + r3, 0 < r3 < r2,
......
rn-2 = rn-1*qn + rn , 0< rn <rn-1
rn-1 = rn *qn+1 + rn+1 ,rn+1 = 0
因为 b> r1 > r2 > r3 >....，故经过有限次带余除法以后，总可以得到一个余数为0，上面rn+1 = 0
由上面的定理1可以知道，(a,b) = (b,r1) = (r2,r1) = ....= (rn-2,rn-1) = (rn-1,rn) = (rn,0) = rn
所以要想求a,b得最大公因数，就需要不断的使用带余除法，直到余数为0，就可以得到a,b的最大公因数.
举例：
使用辗转相除法求 288 和 158 的最大公因数
288 = 158 * 1 + 130
158 = 130 * 1 + 28
130 = 28 * 4 + 18
28 =18 * 1 + 10
18 = 10 * 1 + 8
10 = 8 * 1 + 2
8 = 2 * 4
所以(288,158) = (158,130) = (130,28) = (28,18)=(18,10)=(10,8)=(8,2)=(2,0)=2
python 实现：
递归
def gcd(a,b): if b == 0 : return a return gcd(b,a % b)
迭代
def gcd(a,b): while b != 0: a,b = b,a%b return a