最大序列和

题目描述

给出一个整数序列S，其中有N个数，定义其中一个非空连续子序列T中所有数的和为T的“序列和”。 对于S的所有非空连续子序列T，求最大的序列和。 变量条件：N为正整数，N≤1000000，结果序列和在范围（-2^63,2^63-1）以内。

输入描述:

第一行为一个正整数N，第二行为N个整数，表示序列中的数。

输出描述:

输入可能包括多组数据，对于每一组输入数据，
仅输出一个数，表示最大序列和。

示例1

输入

5
1 5 -3 2 4

6
1 -2 3 4 -10 6

4
-3 -1 -2 -5

输出

9
7
-1

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解题思路

1、该题的思路有很多种，首先看最简单的遍历求解。

#include <stdio.h>
int main()
{
    int N;
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        int a[N];
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<N;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(int i = 0;i<N;i++)
        {
            int thissum = 0;
            for(int j = i;j<N;j++)
            {
                 thissum+=a[j];
                if(thissum >sum)
                {
                    sum = thissum;
                }
            } 
        }
        printf("%d",sum);
    }
}

分析：由代码可知，此算法显然需要O(n²)的复杂度，部分样例会超出时间限制。

2、最大序列和的动态规划算法

设b[j] 为从第 i 到第 j 个数字的最大序列和

即　　b[j] = max_1<=i<=j {SUM _{k= i -- j} a[k] }

由 b[j] 的定义可知，当b[j-1]>0 时，b[j] = b[j-1]+a[j], 否则b[j] = a[j]。

所以得出动态规划递归式：

b[j] = max {b[j-1]+a[j] , a[j]} 1<=j<=n

由此得出求最大序列和的动态规划算法如下：

换一个编译环境编写：

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        int a[n];
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            cin >> a[i];
        }
        int sum =0,b = 0;
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {
            if(b>0) b = b+ a[i];
            else b = a[i];
            if(b>sum) sum = b;
        }
        printf("%d",sum);
    }
}

上述算法所需要的O(n) 的计算时间。