实验目的：
1）追赶法解三对角阵；
2）掌握解线性方程组的迭代法；
3）用Matlab实现Jacobi及超松弛迭代法
实验要求：
1）掌握追赶法解三对角阵
2）掌握解线性方程组的迭代法
3）提交追赶法、Jacobi及超松弛迭代法的m文件
实验内容：
1）追赶法解三对角矩阵方程（m文件）
习题1. 用追赶法的m文件求解
2）Jacobi迭代法解线性方程组（m文件）
对不同初值用Jacobi迭代法解习题1并比较结果。
3）超松弛迭代法解线性方程组（m文件）
对不同松弛因子解习题1并比较结果。
实验步骤：
代码：
1 %追赶法 2 %输入：系数矩阵A和因变量d； 3 %输出：自变量x 4 function z=zuigan(A,d) 5 n=length(d); 6 %取三对角元素a,b,c 7 for i=1:n-1 8 a(i)=A(i,i); 9 b(i)=A(i+1,i); 10 c(i)=A(i,i+1); 11 end 12 a(n)=A(n,n); 13 %分解系数矩阵 14 u(1)=a(1); 15 l(1)=c(1)/a(1); 16 for i=2:n-1 17 u(i)=a(i)-b(i-1)*l(i-1); 18 l(i)=c(i)/u(i); 19 end 20 u(n)=a(n)-c(n-1)*l(n-1); 21 %解y 22 y(1)=d(1)/u(1); 23 for k=2:n 24 y(k)=d(k)-c(k-1)*y(k-1)/u(k); 25 end 26 %解x 27 x(n)=y(n); 28 for k=n-1:-1:1 29 x(k)=y(k)-l(k)*x(k+1); 30 end 31 z=x; 32 end
运行：
所得结果，较为粗糙。
代码：
1 %雅克比迭代法 2 %输入系数矩阵A，因变量b，初始向量x0,容许误差eps,最大迭代次数t 3 %输出自变量x和迭代数n 4 function [z,k]=jacobi(A,b,x0,e,t) 5 %默认eps和最大迭代次数m 6 if nargin==3 7 e=1e-6; 8 m=200; 9 elseif nargin<3 10 error('输入的参数不足'); 11 return; 12 elseif nargin==5 13 m=t; 14 end 15 n=length(b); 16 x(1,:)=x0; 17 z(1,:)=x0; 18 for k=2:m 19 sum=0; 20 for i=1:n 21 w=0; 22 u=0; 23 for j=i+1:n 24 w=w+A(i,j)*x(k-1,j); 25 end 26 for j=1:i-1 27 u=u+A(i,j)*x(k-1,j); 28 end 29 x(k,i)=(-1/A(i,i))*(u+w-b(i)); 30 if sum<abs(x(k,i)-x(k-1,i)) 31 sum=abs(x(k,i)-x(k-1,i)); 32 end 33 end 34 if sum<e 35 z(k,:)=x(k,:); 36 return; 37 end 38 z(k,:)=x(k,:); 39 end 40 end
运行示例，初始向量x0=[0 0 0 0 0 0];和初始向量x0=[1 1 1 1 1 1];
初始值不同，迭代次数可能不同。
代码：
1 %---逐次超松弛迭代法----- 2 %输入：系数矩阵A，因变量b，松弛因子w，精度eps 3 %输出：自变量x，迭代次数k 4 function [z,k]=sor(A,b,w,eps) 5 N=length(b); %解向量的维数 6 x=zeros(N,1);%迭代初始值 7 %-----(A=D-E-F)------ 8 D=diag(diag(A)); 9 E=-tril(A,-1);%下三角 10 F=-triu(A,1);%上三角 11 B=inv(D-w*E)*((1-w)*D+w*F);g=w*inv(D-w*E)*b; 12 %--------开始迭代------- 13 for k=1:100 %最大迭代次数为100 14 y=B*x+g; 15 if abs(x-y)<eps 16 break; 17 end 18 x=y; 19 z(k,:)=x; 20 end 21 z(k,:)=x; 22 end
运行示例，松弛因子w=1.1;和w=1.5；
松弛因子不同，迭代次数可能不同。
小结：
在把数学步骤翻译为算法时，遵循语法规则是必要的；在算法翻译为程序代码时，需要对边界值做推敲。完成代码的编写，需要对它进行检验，特别是边界值的检验。