最近使用开发的过程中出现了一个小问题，顺便记录一下原因和方法--函数表达式
母函数（Generating function）详解
在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以供给关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目标一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过火来看：
"把组合问题的加法规律和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"
"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "
我们首先来看下这个多项式乘法：
由此可以看出:
1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。
2. x2的系数是a1,a2,…an的两个组合的全体。
………
n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
由此失掉：
母函数的定义：
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
斟酌用母函数来接吻这个问题：
我们假设x表现砝码，x的指数表现砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+x表现，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表现，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表现，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表现，
下面这四个式子懂吗？
我们拿1+x2来讲，前面已经说过，x表现砝码，x的指数表现重量，即这里就是一个品质为2的砝码，那么前面的1表现什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（懂得！）
不晓得大家懂得没，我们这里结合前面那句话：
"把组合问题的加法规律和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"
1+x2表现了两种情况：1表现品质为2的砝码取0个的情况，x2表现品质为2的砝码取1个的情况。
这里说下各项系数的意思：
在x前面的系数a表现响应品质的砝码取a个，而1就表现响应砝码取0个，这里可不能简单的以为响应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。
所以，前面说的那句话的意思大家可以懂得了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表现：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从下面的函数晓得：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；一样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1。
接着下面，接下来是第二种情况：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比拟有何区分？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
以开展后的x4为例，其系数为4，即4拆分红1、2、3之和的拆分数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区分的球放到n个无标记的盒子，盒子答应空，也答应放多于一个球）。
整数拆分红若干整数的和，方法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以下面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
- #include<iostream>
- usingnamespace std;
- constint _max = 10001;
- //c1是保存各项品质砝码可以组合的数目
- //c2是中间量，保存没一次的情况
- intc1[_max], c2[_max];
- intmain()
- { //int n,i,j,k;
- int nNum; //
- int i, j, k;
- while(cin >> nNum)
- {
- for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①
- {
- c1[i] = 1;
- c2[i] = 0;
- }
- for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②
- {
- for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③
- for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④
- {
- c2[j+k] += c1[j];
- }
- for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤
- {
- c1[j] = c2[j];
- c2[j] = 0;
- }
- }
- cout << c1[nNum] << endl;
- }
- return 0;
- }
我们来解释下下面标记的各个地方：
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把品质从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，下面给出的第二种母函数关系式里，每个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4....)里，第j个就是x2*j.
③ k表现的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
咱们赶快一气呵成，来几道题目：
（响应题目剖析均在响应的代码里分析）
1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
代码：http://blog.csdn.net/liujie619406439/article/details/8988818
这题大家看看简单不？把下面的模板懂得了，这题就是小Case!
看看这题：
2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
代码：http://blog.csdn.net/liujie619406439/article/details/8988859
要说和前一题的区分，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料---《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来讲去还是套模板~~~
3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
代码：http://blog.csdn.net/liujie619406439/article/details/8989012
这题终究变化了一点，但是万变不离其中。
大家好好分析下，结合代码就会懂了。
4. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
代码：http://www.wutianqi.com/?p=594
还有一些题目，大家有时间自己做做：
HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
附：
1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：
http://www.matrix67.com/blog/archives/120
3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。
文章结束给大家分享下程序员的一些笑话语录：
程序员的愿望
有一天一个程序员见到了上帝.上帝: 小伙子,我可以满足你一个愿望.程序员: 我希望中国国家队能再次打进世界杯.
上帝: 这个啊!这个不好办啊,你还说下一个吧!
程序员: 那好!我的下一个愿望是每天都能休息6个小时以上.
上帝: 还是让中国国家打进世界杯.
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