BZOJ4318 OSU!

题目描述：

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含

（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

 

题解：

一看到概率和期望就头疼。

但仔细想一下，也许这会是你做过最水的概率DP。

我们知道：

(x+1)³

=(x+1)*(x+1)*(x+1)

=(x²+2*x+1)*(x+1)

=x³+2*x²+x+x²+2*x+1

=x³+3*x²+3*x+1;

而此处的1不再连续则增加 x³的期望。

那么我们发现每增加1期望则增加3*x²+3*x+1

我们考虑用DP来维护期望

可以看出增加的期望只与x和x²有关

所以设：x1[i]表示x的期望；x2[i]表示x²的期望。

x1[i]=(x1[i−1]+1)∗p[i];

x2[i]=(x2[i-1]+2*x1[i-1]+1)*p[i];

那么 ans[i]=ans[i-1]+(3*x2[i-1]+3*x1[i-1]+1)*p[i];

最终答案就是ans[n].

附上代码：

#include<cstdio>
int n;
double a[100001],x1[100001],x2[100001],ans[100001];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
         x1[i]=(x1[i-1]+1)*a[i];
           x2[i]=(x2[i-1]+2*x1[i-1]+1)*a[i];
         ans[i]=ans[i-1]+(3*(x1[i-1]+x2[i-1])+1)*a[i];
     }
     printf("%.1lf",ans[n]);
}