topcoder srm 545 div1

problem1 link

这个可以贪心地从前向后构造。假设当前已经的字符串为$S$，对于一个字符$c$来说，设将$c$加到$S$后得到的新串为$S^{'}$。那么如果$X+Y+Z ge minInv$，那么这个之后的构造就是有解的。其中$X$表示$S^{'}$中逆序对个数；$Y$表示剩下的字符与$S^{'}$中的字符构成的逆序对的个数；$Z$表示剩下的字符能构成的最大逆序对个数（从大到小排列即可）。

problem2 link

首先处理掉垂直发射的情况。剩下的就是不垂直的。直接枚举直线的斜率，即$(x, y)$且$x,y$ 互质。由于斜率为正以及为负是对称的，所以只考虑为正的情况。对于指定的斜率，一共可以画出$L+1$条线。这些线分为两部分，第一部分从矩形的上边出去；第二部分从矩形的右侧出去。对于第一部分，直线经过的格点的数目是确定的，所以只要统计有多少条即可。

对于第二部分，起点越靠后，经过的格点数越少，它的规律是每$x$个经过的格点减少1.即假设从$(t,0)$出发的直线且从右侧出去时经过的格点是$p$，那么从$(t+x,0)$出发的直线经过的格点一定是$p-1$.假设$L=20,H=14,x=3,y=1$,那么从$(0,0),(1,0),(2,0)$出发的直线经过7个格点，从$(3,0),(4,0),(5,0)$出发的直线经过6个，依次类推，所以答案为$x*sum_{i=K}^{7}C_{i}^{K}=x*sum_{i=1}^{7}C_{i}^{K}=x*C_{8}^{K+1}$

problem3 link

每个数字最多有20位，所以只需要考虑20位即可。

对于某一位来说，如果所有数字在这个位上全是1或者全是0，那么不需要考虑这一位。那么现在只需要考虑那么既有0又有1的位。一个分配的原则就是在某一位上所有为0的数字不能分配到一个颜色。

考虑容斥原理。所有的情况有$2^n$种。减去在某一位上出现冲突而在其他位任意的情况（即这一位的所有的0都染成同一个颜色），这时候两个位同时冲突的情况就会多减了一次，所以再加上同时在两位上有冲突而其他位任意的情况。依次类推下去。

code for problem1

#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

class StrIIRec {
 public:
  string recovstr(int n, int minInv, string minStr) {
    if (n == 1) {
      return minStr;
    }
    while (static_cast<int>(minStr.size()) < n) {
      minStr += 'a';
    }
    std::string s = "";
    bool equal = true;
    int mask = (1 << n) - 1;
    int num = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      bool find_it = false;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        char c = 'a' + j;
        if ((mask & (1 << j)) != 0 && (!equal || c >= minStr[i])) {
          int num0 = num;
          int remain_max_inv = GetMaxInv(mask ^ (1 << j), n);
          for (int k = 0; k < i; ++k) {
            if (s[k] > c) {
              ++num0;
            }
          }
          if (num0 + remain_max_inv >= minInv) {
            s += c;
            num = num0;
            if (c > minStr[i]) {
              equal = false;
            }
            find_it = true;
            mask ^= 1 << j;
            break;
          }
        }
      }
      if (!find_it) {
        return "";
      }
    }
    return s;
  }

  int GetMaxInv(int remain_mask, int n) {
    int result = 0;
    int pre = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      if ((remain_mask & (1 << i)) != 0) {
        result += pre;
      } else {
        ++pre;
      }
    }
    result += (n - pre) * (n - pre - 1) / 2;
    return result;
  }
};

code for problem2

#include <stdint.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

class Spacetsk {
  static const int64_t mod = 1000000007;

 public:
  int countsets(int L, int H, int K) {
    Init(std::max(L, H) + 1);
    int64_t r = Binomial(H + 1, K) * (L + 1) % mod;
    if (K == 1) {
      return static_cast<int>(r);
    }
    for (int x = 1; x <= L; ++x) {
      for (int y = H; y >= 1; --y) {
        if (Gcd(x, y) != 1) {
          continue;
        }
        r += (Compute1(L, H, K, x, y) + Compute2(L, H, K, x, y)) << 1;
        r %= mod;
      }
    }
    return static_cast<int>(r);
  }

 private:
  int64_t Compute1(int L, int H, int K, int x, int y) {
    int x_right;
    if (H % y == 0) {
      x_right = L - H / y * x;
    } else {
      x_right = L - H * x / y - 1;
    }
    if (x_right < 0) {
      return 0;
    }
    int c = x_right + 1;
    int num = H / y + 1;
    return Binomial(num, K) * static_cast<int64_t>(c) % mod;
  }

  int64_t Compute2(int L, int H, int K, int x, int y) {
    int x_right;
    if (H % y == 0) {
      x_right = L - H / y * x;
    } else {
      x_right = L - H * x / y - 1;
    }
    ++x_right;
    if (x_right < 0) {
      x_right = 0;
    }
    int64_t r = 0;
    int64_t length = L - x_right;
    if ((length + 1) % x != 0) {
      int num = length / x + 1;
      int c = length % x + 1;
      r += Binomial(num, K) * static_cast<int64_t>(c) % mod;
      length -= c;
    }
    int max_num = length / x + 1;
    r += Binomial(max_num + 1, K + 1) * static_cast<int64_t>(x);
    r %= mod;
    return r;
  }

  int64_t Gcd(int64_t x, int64_t y) { return y == 0 ? x : Gcd(y, x % y); }

  int64_t Binomial(int a, int b) {
    if (a < b) {
      return 0;
    }
    if (a == 0 || a == b) {
      return 1;
    }
    return p[a] * q[b] % mod * q[a - b] % mod;
  }

  void Init(int n) {
    p.resize(n + 2);
    q.resize(n + 2);
    p[0] = q[0] = 1;
    for (int64_t i = 1; i < p.size(); ++i) {
      p[i] = p[i - 1] * static_cast<int64_t>(i) % mod;
      q[i] = Pow(p[i], mod - 2);
    }
  }

  int64_t Pow(int64_t a, int64_t b) {
    int64_t r = 1;
    while (b > 0) {
      if ((b & 1) == 1) {
        r = r * a % mod;
      }
      a = a * a % mod;
      b >>= 1;
    }
    return r;
  }

  std::vector<int64_t> p;
  std::vector<int64_t> q;
};

code for problem3

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

class SetAndSet {
 public:
  long long countandset(vector<int> A) {
    long long all = 0;
    for (size_t i = 0; i < A.size(); ++i) {
      all &= A[i];
    }
    for (size_t i = 0; i < A.size(); ++i) {
      A[i] ^= all;
    }
    std::vector<std::vector<int>> v(20, std::vector<int>());
    for (int i = 0; i < 20; ++i) {
      for (size_t j = 0; j < A.size(); ++j) {
        if ((A[j] & (1 << i)) == 0) {
          v[i].push_back(static_cast<int>(j));
        }
      }
    }
    std::vector<int> f(A.size());
    for (size_t i = 0; i < f.size(); ++i) {
      f[i] = i;
    }
    return dfs(0, f, 1ll, v, A);
  }

  long long dfs(size_t dep, const std::vector<int> &f, long long sgn,
                const std::vector<std::vector<int>> &v,
                const std::vector<int> &A) {
    if (dep == v.size()) {
      int tot = 0;
      for (size_t i = 0; i < f.size(); ++i) {
        if (f[i] == static_cast<int>(i)) {
          ++tot;
        }
      }
      return (1ll << tot) * sgn;
    }
    long long result = dfs(dep + 1, f, sgn, v, A);
    if (!v[dep].empty()) {
      static std::vector<int> h(50, 0);
      static int index = 0;
      std::vector<int> f_bak = f;
      ++index;
      for (size_t i = 0; i < v[dep].size(); ++i) {
        h[f[v[dep][i]]] = index;
      }
      int root = f_bak[v[dep][0]];
      for (size_t i = 0; i < A.size(); ++i) {
        if (h[f_bak[i]] == index) {
          f_bak[i] = root;
        }
      }
      result += dfs(dep + 1, f_bak, -sgn, v, A);
    }
    return result;
  }
};