problem1 link
设行数为$n$列数为$m$
对于任意的两行$r_{1},r_{2}$以及任意的两列$c_{1},c_{2}$所确定的四个格子，只要知道其中的三个就能确定第四个，且必须要三个。
这样的话，可以看作$n+m$个节点，如果$(i,j)$为‘Y’那么将第$i$行表示的节点和第$j$列表示的节点连一条边。这样的话，每个联通块都代表了一个子矩阵。
假设有$k$个联通块，那么答案为$k-1$。
因为需要将$k$个联通块连接起来。
problem2 link
首先，如果$A le frac{B}{2}$,那么令$A=frac{B}{2}+1$。因为$[A,frac{B}{2}]$内的数字的2倍一定在$[frac{B}{2}+1,B]$中。 $C$作类似处理。
现在$[C,D]$中的数字一定需要全部保留下来。$[A,B]$中那些有倍数在$[C,D]$中可以不要。
（1）如果$B le 10^{5}$，那么只需要挨个枚举$[A,B]$中的每个数字即可。
（2）如果$B > 10^{5}$，枚举因子$k,k>1$，那么$[left lceil frac{C}{k} ight ceil,left lfloor frac{D}{k} ight floor]$与$[A,B]$的交集内的数字都可以不要。
由于$D le 10^{10},A > 5*10^{4}$，所以$k$最大枚举到$2*10^{5}$即可。
problem3 link
首先，可以计算出以下两种情况：
（1）和是0。那么只需要枚举将第$i$个数字变成0，然后剩余数字的和是0即可；
（2）最多有一个数字的绝对值不是1，剩余都是。那么可以枚举这个数字，然后剩下的数字应该正好有一半的-1一半的1，且-1的个数是偶数。
那么现在只需要处理和不是0且至少有两个数字的绝对值大于1的情况。
可以发现，这种情况，最后的和（也就是乘积）的绝对值不会大于100.
比如等于102，那么可能是$2*51*1^{t}$，由于最多50个数字，那么 $t$最大为48，此时2+51+1*48=101<102。可以发现，越比100大，越不可能得到。
因此，可以进行动态规划。设f[i][j][k]表示考虑了前$i$个数字，和是$j$乘积是$k$的最小代价。
这里有一个优化，就是对于一个状态$(i,j,k)$，还剩下$[i+1,n]$个数字未考虑,即$t=n-(i+1)+1=n-i$个数字。那么当$|k|-|j|>t$时，后面$t$个数字无论是什么组合都不会使得最后的和与乘积相等。（由于python跑的太慢，加上这个优化后才能跑过）
code for problem1
class RectangleArea:
f = []
def getRoot(self, x):
if self.f[x] != x:
self.f[x] = self.getRoot(self.f[x])
return self.f[x]
def minimumQueries(self, known):
n = len(known)
m = len(known[0])
for i in range(0, n + m):
self.f.append(i)
for i in range(0, n):
for j in range(0, m):
if known[i][j] == 'Y':
ri = self.getRoot(i)
rj = self.getRoot(n + j)
self.f[ri] = rj
ans = -1
for i in range(0, n + m):
if self.getRoot(i) == i:
ans += 1
return ans
code for problem2
class SetMultiples:
def smallestSubset(self, A, B, C, D):
if A <= B / 2:
A = B / 2 + 1
if C <= D / 2:
C = D / 2 + 1
ans = D - C + 1 + B - A + 1
if B <= 100000:
for x in range(A, B + 1):
t = (C + x - 1) / x
if t * x <= D:
ans -= 1
else:
for x in range(200000, 1, -1):
left = (C + x - 1) / x
right = D / x
if left < A:
left = A
if right > B:
right = B;
if left <= right:
ans -= right - left + 1
A = right + 1
return ans
code for problem3
class PerfectSequences2:
def calculate1(self, seq):
n = len(seq)
result = 1 << 40
for i in range(n):
sum = 0
for j in range(n):
if i != j:
sum += seq[j]
result = min(result, abs(sum) + abs(seq[i]))
return result
def calculate2(self, seq):
n = len(seq)
result = 1 << 40
if n % 4 != 1:
return result
for i in range(n):
f = []
for j in range(n):
if i != j:
f.append(seq[j])
f.sort()
tmp = 0
for j in range(n/2):
tmp += abs(f[j] - (-1))
tmp += abs(f[n - 2 - j] - 1)
result = min(result, tmp)
return result
def minimumMoves(self, seq):
n = len(seq)
if n == 1:
return 0
result = min(self.calculate1(seq), self.calculate2(seq))
N = 201
M = 100
inf = 1 << 40
f = [0] * (n + 1)
for i in range(n + 1):
f[i] = [0] * N
for j in range(N):
f[i][j] = [inf] * N
f[0][M][M + 1] = 0
for i in range(n):
val = seq[i]
for x in range(N):
for y in range(N):
t = f[i][x][y]
if t == inf:
continue
xx = x - M
yy = y - M
if abs(yy) - abs(xx) > n - i:
continue
limit = M / abs(yy)
if abs(yy) > 1:
limit = min(limit, (n - i - 1 + abs(xx)) / (abs(yy) - 1))
for j in range(1, limit + 1):
if abs(xx + j) <= M:
rx = xx + j + M
ry = yy * j + M
f[i + 1][rx][ry] = min(f[i + 1][rx][ry], abs(val - j) + t)
if abs(xx - j) <= M:
rx = xx + (-j) + M
ry = yy * (-j) + M
f[i + 1][rx][ry] = min(f[i + 1][rx][ry], abs(val - (-j)) + t)
for i in range(N):
result = min(result, f[n][i][i])
return result