问题定义： 给出一些样本，包含两类。svm试图找到一个超平面，将数据分开，并且每种样本到超平面的距离的最小值最大。
输入样本：${x_{i},y_{i}| 1leq ileq n }$,$y_{i}in {-1,1}$
超平面定义:$w^{T}x+b=0$
设某一个采样点$x^{(i)}$到超平面的距离为$gamma^{(i)}$,那么从$x^{(i)}$作方向为w的射线，其与超平面的交点为B，采样点到B的距离为$gamma^{(i)}$，那么B可以用这样的向量表示$B=x^{(i)}-gamma^{(i)}frac{w}{||w||}$。
由于B在超平面上，所以有:$w^{T}(x^{(i)}-gamma^{(i)}frac{w}{||w||})+b=0$
我们从中解得$gamma^{(i)}=(frac{w}{||w||})^{T}x^{(i)}+frac{b}{||w||}$。当$y^{(i)}=1$时此值为正数，否则为负数，所以我们将其乘以$y^{(i)}$，那么此时$gamma^{(i)}=y^{(i)}((frac{w}{||w||})^{T}x^{(i)}+frac{b}{||w||})$
现在令$||w||=1$,按照我们问题定义中的描述，我们要解决的问题是这样的：$max_{w,b,gamma }$ $gamma$，使得(1)$y^{(i)}(w^{T}x^{(i)}+b)geq gamma ,1 leq i leq n$,(2)$||w||=1$
由于$||w||=1$的限制不利于求解，所以我们将求解换成如下的描述$max_{w,b,gamma }$ $frac {gamma}{||w||}$，使得$y^{(i)}(w^{T}x^{(i)}+b)geq gamma ,1 leq i leq n$。此时$w$的大小可以任意取。
进一步我们令$gamma=1$,那么现在变为$max_{w,b}$ $frac {1}{||w||}$，使得$y^{(i)}(w^{T}x^{(i)}+b)geq 1 ,1 leq i leq n$
最后，将求解问题变成$min_{w,b}$ $frac{1}{2}||w||^{2}$，使得$y^{(i)}(w^{T}x^{(i)}+b)geq 1 ,1 leq i leq n$。