依分布收敛（convergence in distribution）

Convergence in distribution

依分布收敛是随机变量列的一种收敛性，设{ξn，n≥1}是概率空间(Ω，F，P)上的随机变量列，其相应的分布函数列为{Fn(x)，n≥1}，如果Fn(x)弱收敛于随机变量ξ的分布函数F(x)，则称随机变量列ξn依分布收敛到随机变量ξ。 

定义

定义1

称随机变量序列依分布收敛(convergence in distribution)于随机变量X，如果对的任意连续点x，都有 

定义2

弱收敛 

设是一个分布函数列，如果存在一个分布函数，使得在的每一个连续点上有成立，则称弱收敛于，并记为

依分布收敛 

设为随机变量序列，是对应的分布函数列，如果存在一个具有分布函数的随机变量，使得则称依分布收敛于，并记作。

我们必须指出，只有分布函数序列收敛到一个分布函数时，我们才说它是依分布收敛的，这一说明是必要的，因为分布函数序列可能收敛到一个函数，而这个函数不一定是一个分布函数。

依概率收敛、殆必收敛、依分布收敛

注意，尽管我们定义的是随机变量序列依分布收敛，其实质却是累积分布函数而非随机变量的收敛性，因此依分布收敛与依概率收敛、殆必收敛（几乎处处收敛：almost surely convergent）有着本质区别，不过，另两种收敛都分别蕴含依分布收敛。

 

相关定理

定理1

如果随机变量序列依概率收敛于随机变量X，则该序列也依分布收敛于X。

定理2

随机变量序列依概率收敛于常数，当且仅当该序列依分布收敛于，即， 等价于