一． 扩展的欧几里德和不定方程的解
解不定方程ax + by = n的步骤如下:
(1)计算gcd(a, b). 若gcd(a, b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以gcd(a, b)，得到新的不定方程a'x + b'y = n'，此时gcd(a', b') = 1
(2)求出不定方程a'x + b'y = 1的一组整数解x0, y0，则n'x0，n'y0是方程a'x + b'y = n'的一组整数解。
(3)根据扩展欧几里德定理，可得方程a'x + b'y = n'的所有整数解为：
x = n'x0 + b't
y = n'y0 - a't
(t为整数)
这也就是方程ax + by = n的所有整数解
利用扩展的欧几里德算法，计算(a, b)和满足gcd = (a, b) = ax0 + by0的x0和y0，也就是求出了满足a'x0 + b'y0 = 1的一组整数解。因此可得：
x = n/gcd * x0 + b/gcd * t
y = n/gcd * y0 - a/gcd * t
(t是整数)
int extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int gcd= extend_Euclid ( b, a % b, x, y );
int temp = x;
x = y;
y = temp - (a / b) * y;
return gcd;
}
二． 中国同余定理
Poj 2891
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
__int64 GCD(__int64 i,__int64 j)
{
if(j==0)
return i;
else
return GCD(j,i%j);
}
__int64 extend_Euclid(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)
{
if (b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
__int64 gcd= extend_Euclid ( b, a % b, x, y );
__int64 temp = x;
x = y;
y = temp - (a / b) * y;
return gcd;
}
//只有两个式子的中国同余定理，return z=a*xx+x=b*yy+y;
__int64 CRT_2(__int64 a,__int64 x,__int64 b,__int64 y)
{
__int64 xx,yy,gcd;
gcd=extend_Euclid(a,b,xx,yy);
__int64 c=y-x;
while(c<0)
c+=a;
if(c%gcd!=0)
return -1;
xx*=c/gcd;
yy*=c/gcd;
__int64 t=yy/(a/gcd);
while(yy-t*(a/gcd)>0)
t++;
while(yy-(t-1)*(a/gcd)<=0)
t--;
return (t*(a/gcd)-yy)*b+y;
}
//chinese remainder theorem
//crt[i][0]存的是除数，crt[i][1]存的是余数,0<=i<n,n>1,返回结果,-1表示无解
__int64 CRT(__int64 crt[][2],int n)
{
__int64 m=crt[0][0]/GCD(crt[0][0],crt[1][0])*crt[1][0];
__int64 ans=CRT_2(crt[0][0],crt[0][1],crt[1][0],crt[1][1])%m;
for(int i=2;i<n&&ans!=-1;i++){
ans=CRT_2(m,ans,crt[i][0],crt[i][1]);
m*=crt[i][0]/GCD(m,crt[i][0]);
ans%=m;
}
return ans;
}
int main(void)
{
int n;
__int64 a[10000][2];
while(scanf("%d",&n)==1){
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%I64d%I64d",&a[i][0],&a[i][1]);
if(n==1)
printf("%I64d\n",a[0][1]);
else
printf("%I64d\n",CRT(a,n));
}
return 0;
}
三． 原根
Poj 1284 ans=φ（p-1）;//p是素数
设h为一整数，n为一正整数，（h，n）=k，适合h^k=1（mod n）的最小正整数k叫做h对n的次数。如果k=φ（n），则此时h被称为模n的原根。1773年，欧拉证明了素数P有原根。1785年，勒让德证明：设k|（p-1），恰有φ(k)个模p互不同余的数对模p的次数为k。
大家可以去搜索一下“二次剩余”
p是奇素数,如果{xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1},则称x是p的原根.
给出一个p,问它的原根有多少个.
{xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于 {xi%(p-1) | 1 <= i <= p - 1} = {0,1,2,...,p-2},即为(p-1)的完全剩余系
若x,x2...x(p-1)是(p-1)的完全剩余系,
根据定理,可以推出若gcd(x, p-1) = 1时, (1,x,...,x(p-2))也是(p-1)的完全剩余系
因为若xi != xj (mod p-1),那么x*xi != x*xj (mod p-1),与条件m矛盾,所以 xi = xj (mod p-1),
由此可以确定答案为EulerPhi(p-1)
有误之处请指出..
(拉格朗日四平方和定理)
每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
四． 积性函数
在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。
而本条目只讨论在数论中的积性函数。对于正整数n的一个算术函数 f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若某算术函数f(n)符合f(1)=1，且就算a,b不互质，f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。
积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。即是说，若将n表示成质因数分解式如 N=p1^a1*p2^a2..pk^ak
则 f(N)=f(p1^a1)*f(p2^a2)*…f(pk^ak)
若f为积性函数且f(p^n) = f(p)^n，则f为完全积性函数。
例子：
φ(n) －欧拉φ函数，计算与n互质的正整数之数目
μ(n) －默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因数，当k固定的情况
d(n) －n的正因数数目
σ(n) －n的所有正因数之和
σk(n): 因数函数，n的所有正因数的k次幂之和，当中k可为任何复数。在特例中有：
σ0(n) = d(n) 及
σ1(n) = σ(n)
1(n) －不变的函数，定义为 1(n)=1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n)=n （完全积性）
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
Id0(n) = 1(n) 及
Id1(n) = Id(n)
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
(n/p) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
所有狄利克雷特征均是完全积性的
加性函数：
在非数论的领域，加性函数指有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)+f(b)的函数。
而本条目只讨论在数论中的加性函数。对于正整数n的一个算术函数f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)+f(b)，在数论上就称它为加性函数。若某算术函数f(n)就算a,b不互质，f(ab)=f(a)+f(b)，称它为完全加性的。
Ω(n)—n的所有质因子数目。特别的是因为1无任何质因子，Ω(1)=0。
ω(n)—n的相异质因子数目
a0(n)（或称sopfr(n)）—所有n的质因子之和
a1(n)（或称sopf(n)）—所有n的不同质因子之和
五． 欧拉函数性质
在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。
例如，因为1,3,5,7均和8互质。
欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。
phi(n)<=n; phi(1)=1; phi(p)=p-1;
phi(p^n)=(p-1)*p^(n-1);
phi(m*n)=phi(m)*phi(n); gcd(n,m)=1;
(m,k)=1, k^phi(m)=1(modm);
六． 线性求1-max的欧拉函数值
Poj 2478 O(n)求素数，求欧拉函数（1-MAX）
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX=1001000;
int pri[MAX/3],pn=0;
char notp[MAX]={0};
int phi[MAX];
__int64 sum[MAX];
void phif(void)
{
for(int i=2;i<MAX;i++){
if(notp[i]==0){
pri[pn++]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=0;j<pn&&MAX>pri[j]*i;j++){
notp[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
break;
}
else
phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
}
}
}
int main(void)
{
phif();
int n;
sum[2]=phi[2];
for(int i=3;i<=1000000;i++)
sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
while(1){
scanf("%d",&n);
if(n==0)
break;
printf("%I64d\n",sum[n]);
}
return 0;
}
七． 求单个欧拉函数，求最小的x(phi（n）%x==0),使得2^x =1(mod n)
Poj3358,求n/m表示成2进制小数的循环节起始位和长度。
#include<iostream>
using namespace std;
int p[100000],pn=0;
char pp[1000000]={0};
void pf(void)
{
for(int i=2;i<1000000;i++){
if(pp[i]==0){
p[pn++]=i;
for(int j=i;i<1000&&i*j<1000000;j++)
pp[i*j]=1;
}
}
//printf("%d\n",pn);
}
__int64 phif(__int64 n)
{
__int64 k=n;
for(int i=0;i<pn&&k!=1&&(__int64)p[i]*p[i]<=k;i++){
if(k%p[i]==0){
n-=n/p[i];
while(k%p[i]==0)
k/=p[i];
}
}
if(k!=1)
n-=n/k;
return n;
}
__int64 pm[100];
//pm[i]=d^(1<<i)%m; n=d^k%m
__int64 pow_mod(__int64 d,__int64 k,__int64 m)
{
if(pm[0]==-1){
pm[0]=d%m;
for(int i=1;i<100;i++)
pm[i]=pm[i-1]*pm[i-1]%m;
}
__int64 n=1;
for(int i=0;k>0;i++){
if(k&1==1){
n*=pm[i];
n%=m;
}
k>>=1;
}
return n;
}
__int64 GCD(__int64 x,__int64 y)
{
if(x==0)
return y;
else
return GCD(y%x,x);
}
int main(void)
{
pf();
int cas=1;
__int64 k,n,m,ans0,ans1,phn;
while(scanf("%I64d/%I64d",&m,&n)!=EOF){
k=GCD(m,n);
m/=k;
n/=k;
for(ans0=1;n%2==0;ans0++,n>>=1);
m=phif(n);
k=m;
pm[0]=-1;//还原
for(int i=0;i<pn&&k>1;i++){
if(k%p[i]==0){
while(k%p[i]==0)
k/=p[i];
while(m%p[i]==0&&pow_mod(2,m/p[i],n)==1)
m/=p[i];
}
}
printf("Case #%d: %I64d,%I64d\n",cas++,ans0,m);
}
system("pause");
return 0;
}
语法：result=GCD(long long i,long long j);
参数：
i,j
返回值：
GCD(i,j)
注意：
源程序:
long long GCD(long long i,long long j)
{
if(j==0)
return i;
else
return GCD(j,i%j);
}
语法：result=GCD(long long i,long long j);
参数：
求gcd(a,b)=ax+by，*x,*y
返回值：
gcd(a,b),x,y
注意：*x,*y
源程序：
long long Extend_Euclid(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
long long gcd= Extend_Euclid ( b, a % b, x, y );
long long temp = x;
x = y;
y = temp - (a / b) * y;
return gcd;
}
语法：result=China_Reminder_Therem(long long B[]],long long W[],long long n);
参数：
B[]、W[]：
a=B[] (mod W[]) 的对应参数,0<=i<n,n>1
返回值：
a 的值,如果没有解返回-1
注意：
W[]存的是除数，B[]存的是余数,0<=i<n,n>1,返回结果,-1表示无解
//其中W[],B[]已知，W[i]>0且W[i]与W[j]互质, 求a//?我也不清楚
源程序:
long long GCD(long long i,long long j)
{
if(j==0)
return i;
else
return GCD(j,i%j);
}
long long Extend_Euclid(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
long long gcd= Extend_Euclid ( b, a % b, x, y );
long long temp = x;
x = y;
y = temp - (a / b) * y;
return gcd;
}
//只有两个式子的中国同余定理，return z=a*xx+x=b*yy+y;
long long China_Reminder_Therem_2(long long a,long long x,long long b,long long y)
{
long long xx,yy,gcd;
gcd=Extend_Euclid(a,b,xx,yy);
long long c=y-x;
while(c<0)
c+=a;
if(c%gcd!=0)
return -1;
xx*=c/gcd;
yy*=c/gcd;
long long t=yy/(a/gcd);
while(yy-t*(a/gcd)>0)
t++;
while(yy-(t-1)*(a/gcd)<=0)
t--;
return (t*(a/gcd)-yy)*b+y;
}
long long China_Reminder_Theory(long long B[],long long W[],int n)
{
long long m=W[0]/GCD(W[0],W[1])*W[1];
long long ans=China_Reminder_Therem_2(W[0],W[0],W[1],B[1])%m;
for(int i=2;i<n&&ans!=-1;i++){
ans=China_Reminder_Therem_2(m,ans,crt[i][0],crt[i][1]);
m*=W[i]/GCD(m,W[i]);
ans%=m;
}
return ans;
}