定理:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在无数组整
数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
证明:
求解 x,y的方法的理解
设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
应用:如果ax1+ by1= d,并且gcd(a,b)|d;求解不定方程;
通过扩展欧几里德算法求解逆元(不会证明,以后补)
void extend_Euclid(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return; } extend_Euclid(b, a % b, x, y); ll tmp = x; x = y; y = tmp - (a / b) * y; }
下面是带求gcd的扩展欧几里德
void exgcd(int a,int b,int &d,long long &x,long long &y){ if(!b){ d=a; x=1; y=0; return; } exgcd(b,a%b,d,y,x); y-=a/b*x; }