[解题报告]ural 1041 Nikifor

Abstract

ural 1041

贪心 矩阵胚

Body

Source

http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1041

Description

给定M个N维带权向量。求这些向量中的一个极大无关组（显然有N个向量），使得其权值和最小。

Solution

设S为所有给定的向量，I为这些向量构成的所有线性无关组。则M=(S,I)为一矩阵胚（算法导论翻译为拟阵），因此可采用贪心算法。将所有向量按权值从小到大排序，当前向量能加入解集就加入（与当前解集线性无关），否则舍弃。具体证明以后再写。判断线性相关用高斯消元，将当前向量每一维能消成0的消成0，如果最后不全为0就是线性无关。注意不要用浮点数，运算对质数取模即可。

因为下意识地以为会spj没看到要输出字典序最小的WA了整个晚上……

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <utility>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL MOD = 971027;
const int MAXN = 55;

struct sv {int id, cost;}v[2020];
bool operator<(const sv &v1, const sv &v2)
{
    if (v1.cost==v2.cost) return v1.id<v2.id;
    return v1.cost < v2.cost;
}

int M, N;
LL a[2020][MAXN];
int first[2020];
int ref[55];
int cost;
vector<int> ans;

LL gcd(LL p, LL q)
{
    LL r;
    while (q)
    {
        r = p%q;
        p = q;
        q = r;
    }
    return p;
}

int gauss(int i)
{
    int j, k;
    for (j = 0; j < N; ++j)
    {
        if (a[i][j]==0) continue;
        if (ref[j]==-1) return j;
        LL t = gcd(abs(a[i][j]), abs(a[ref[j]][j]));
        LL p = a[ref[j]][j]/t, q = a[i][j]/t;
        for (k = j; k < N; ++k)
            a[i][k] = (a[i][k]*p-a[ref[j]][k]*q)%MOD;
    }
    return -1;
}

int main()
{
    int i, j, k;
    scanf("%d%d", &M, &N);
    for (i = 0; i < M; ++i)
        for (j = 0; j < N; ++j)
            scanf("%lld", &a[i][j]);
    for (i = 0; i < M; ++i)
    {
        scanf("%d", &v[i].cost);
        v[i].id = i;
    }
    sort(v, v+M);
    memset(ref, 255, sizeof(ref));
    for (i = 0; i < M; ++i)
    {
        j = gauss(v[i].id);
        if (j != -1)
        {
            ref[j] = v[i].id;
            cost += v[i].cost;
            ans.push_back(v[i].id+1);
        }
        if (ans.size()==N) break;
    }
    if (ans.size()<N)
        puts("0");
    else
    {
        printf("%d\n", cost);
        sort(ans.begin(), ans.end());
        for (i = 0; i < N; ++i)
            printf("%d\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}

Reference