PBR Step by Step（一）立体角

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本系列从零起步，作为学习笔记与大家分享，从基础的数学和图形理论，一步一步实现基于物理的渲染。

Reference：《PBRT》、《Ray Tracing from the Ground Up》

由于光源是三维空间中的辐射光能，对于其传播范围通常使用立体角来描述，先来看一下什么是立体角。

立体角Solid Angles

立体角表示一个锥面所围成的空间部分，用符号(omega )表示。

立体角是以圆锥体的顶点为心，半径为r的球面被锥面所截得的面积来度量的，度量单位为“球面度”（steradian，符号∶sr）。球面度表示为三维弧度。

在球坐标系中，球面的极小面积({dA}_{2})为：

({dA}_{2}=({r}\,sin heta\, {d}varphi )({r\,d heta })={r}^{2}(sin heta\,{d heta }\,{d}varphi))

整个球面面积为({dA})的积分： 

({A}=int {dA}_{2}=int_{0}^{2pi}int_{0}^{pi}({r}\,sin heta\, {d}varphi*{r\,d heta })={r}^{2}int_{0}^{2pi}{d}varphiint_{0}^{pi}sin heta\,{d} heta)

极小立体角定义为球面面积与球半径平方的比值，即：

({domega} = frac{dA}{{r}^{2}}=sin heta\,{d} heta\,{d}varphi)

对上式积分：

({omega} = int_{0}^{2pi }{dvarphi }int_{0}^{pi } sin heta\, {d heta }={4pi })

可知，最大立体角就是单位球体的表面积。

半球积分

半球积分方程表示为：({I} = int_{omega}{f( heta, phi)cos heta \, domega})

其中，({( heta, phi)} in {[0, frac{pi}{2}] [0, 2pi]})，({omega in [0, 2pi]})，(cos heta \, domega)表示立体角在水平面({(x, y)})上的投影，又称为投影立体角。

当函数({f( heta, phi)} = cos^{n-1} heta )时，

({I} = int_{2pi} cos^{n} heta \, {domega})

(= int_{0}^{2pi} int_{0}^{frac{pi}{2}}{cos^{n} heta sin heta \, dphi})

(= int_{0}^{2pi} dphi int_{0}^{2pi} {cos^{n} heta sin heta \, d heta} )

(= {2pi int_{0}^{frac{pi}{2}} cos^{n} heta \, sin heta \, d heta})

(= {2pi left[frac{{cos heta}^{n+1}}{n+1} ight]_{0}^{frac{pi}{2}}} = frac{2pi}{n+1})

最终得出当({f( heta, phi)} = cos^{n-1} heta )时，半球积分为：({I} = frac{2pi}{n+1})