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求阶乘末尾0的个数

（1）给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0？比如：N=10，N！=3628800，N！的末尾有2个0。

（2）求N！的二进制表示中最低位为1的位置。

第一题

考虑哪些数相乘能得到10，N!= K * 10^M其中K不能被10整除，则N!末尾有M个0。

对N!进行质因数分解： N!=2^X*3^Y*5^Z…，因为10=2*5，所以M与2和5的个数即X、Z有关。每一对2和5都可以得到10，故M=min(X,Z)。因为能被2整除的数出现的频率要比能被5整除的数出现的频率高，所以M=Z。

解法1：问题转化为求N!因式分解中5的指数。

int countZero(int N)
{
     int ret = 0;
     int j;
     for(int i=1; i<=N; i++)
     {
           j = i;
           while(0==j%5)
           {
               ret++;
               j /= 5;
           }
     }
     return ret;
}

 改进不要从1开始循环的，只有5的倍数才能够被5整除

int numOfZero(int n)  
{  
    int num = 0, i, temp;  
    for(i=5; i<=n; i+=5)  
    {  
        temp = i;  
        while(0 == temp%5)  
        {  
            temp /= 5;  
            num++;  
        }  
    }  
    return num;  
}  

解法2：Z =[N/5] + [N/5²] + [N/5³] + …

[N/5] 表示不大于N的的数中5的倍数贡献一个5, [N/5²] 表示不大于N的数中5²的倍数在贡献一个5……

int countZero(int N)
{
     int ret = 0;
     while(N)
     {
           ret += N/5;
           N /= 5;
     }
     return ret;
}

 或者

int numOfZero(int n)  
{  
    int num = 0, i;  
    for(i=5; i<=n; i*=5)  
    {  
        num += n/i;  
    }  
    return num;  
}  

第二题

把一个二进制除以2的过程如下：

判断最后一个二进制是否为0：若为0将二进制数右移1位，即为商；若为1，则说明这个数是奇数，不能被2整除。

所以判断N!的二进制表示中最低位为1的位置的问题可以转换为求N!中含有质因数2的个数的问题。即位置为N!含有质因数2的个数加1.

解法1：N!中含有质因数2的个数等于：[N/2]+[N/4]+[N/8]+…

int lowestOne(int N)
{
     int ret = 1;
     while(N)
     {
           N >>= 1;
           ret += N;
     }
     return ret;
}

解法2：N!中含有质因数2的个数等于N减去N的二进制表示中1的数目。

以下为规律的推导：N!中含有2的质因数的个数等于[N/2]+[N/4]+[N/8]+…

对于11011即：

1101+110+11+1 = (1000+100+1) + (100+10) + (10+1) + 1

= 1000+100+10+1 + 100+10+1 + 1

= 1111+111+1

= 10000-1 + 1000-1 + 10-1 + 1-1

= 11011-(N的二进制表示中含有1的个数)