动态规划--矩阵链乘法
1、矩阵乘法
#include <iostream> using namespace std; #define A_ROWS 3 #define A_COLUMNS 2 #define B_ROWS 2 #define B_COLUMNS 3 void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS]); int main() { int A[A_ROWS][A_COLUMNS] = {1,0, 1,2, 1,1}; int B[B_ROWS][B_COLUMNS] = {1,1,2, 2,1,2}; int C[A_ROWS][B_COLUMNS] = {0}; matrix_multiply(A,B,C); for(int i=0;i<A_ROWS;i++) { for(int j=0;j<B_COLUMNS;j++) cout<<C[i][j]<<" "; cout<<endl; } return 0; } void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS]) { if(A_COLUMNS != B_ROWS) cout<<"error: incompatible dimensions."<<endl; else { int i,j,k; for(i=0;i<A_ROWS;i++) for(j=0;j<B_COLUMNS;j++) { C[i][j] = 0; for(k=0;k<A_COLUMNS;k++) C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]; //将A的每一行的每一列与B的每一列的每一行的乘积求和 } } }
结果：
1 1 2 5 3 6 3 2 4
2、矩阵链乘问题描述
给定n个矩阵构成的一个链<A1,A2,A3,.......An>，其中i=1,2,...n，矩阵A的维数为pi-1pi，对乘积 A1A2...An 以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号。
注意：在矩阵链乘问题中，实际上并没有把矩阵相乘，目的是确定一个具有最小代价的矩阵相乘顺序。找出这样一个结合顺序使得相乘的代价最低。
3、动态规划分析过程
1）最优加全部括号的结构
动态规划第一步是寻找一个最优的子结构。假设现在要计算AiAi+1....Aj的值，计算Ai...j过程当中肯定会存在某个k值（i<=k<j）将Ai...j分成两部分，使得Ai...j的计算量最小。分成两个子问题Ai...k和Ak+1...j，需要继续递归寻找这两个子问题的最优解。
有分析可以到最优子结构为：假设AiAi+1....Aj的一个最优加全括号把乘积在Ak和Ak+1之间分开，则Ai..k和Ak+1..j也都是最优加全括号的。
2）一个递归解
设m[i,j]为计算机矩阵Ai...j所需的标量乘法运算次数的最小值，对此计算A1..n的最小代价就是m[1,n]。现在需要来递归定义m[i,j]，分两种情况进行讨论如下：
当i==j时：m[i,j] = 0，（此时只包含一个矩阵）
当i<j 时：从步骤1中需要寻找一个k（i≤k＜j）值，使得m[i,j] ＝min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj} （i≤k＜j）。
3）计算最优代价
设矩阵Ai的维数为pi- 1pi，i=1,2.....n。输入序列为：p=<p0，p1,...pn>，length[p] = n+1。使用m[n][n]保存m[i,j]的代价，s[n][n]保存计算m[i,j]时取得最优代价处k的值，最后可以用s中的记录构造一个最优解。 书中给出了计算过程的伪代码，摘录如下：
MAXTRIX_CHAIN_ORDER(p) n = length[p]-1; for i=1 to n do m[i][i] = 0; for t = 2 to n //t is the chain length do for i=1 to n-t+1 j=i+t-1; m[i][j] = MAXLIMIT; for k=i to j-1 q = m[i][k] + m[k+1][i] + qi-1qkqj; if q < m[i][j] then m[i][j] = q; s[i][j] = k; return m and s;
MATRIX_CHAIN_ORDER具有循环嵌套，深度为3层，运行时间为O(n3)。如果采用递归进行实现，则需要指数级时间Ω(2n)，因为中间有些重复计算。递归是完全按照第二步得到的递归公式进行计算，递归实现如下所示：
int recursive_matrix_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]) { if(i==j) m[i][j] = 0; else { int k; m[i][j] = MAXVALUE; for(k=i;k<j;k++) { int temp = recursive_matrix_chain(p,i,k,m,s) +recursive_matrix_chain(p,k+1,j,m,s) + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(temp < m[i][j]) { m[i][j] = temp; s[i][j] = k; } } } return m[i][j]; }
对递归算计的改进，可以引入备忘录，采用自顶向下的策略，维护一个记录了子问题的表，控制结构像递归算法。完整程序如下所示：
int memoized_matrix_chain(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]) { int i,j; for(i=1;i<=N;++i) for(j=1;j<=N;++j) { m[i][j] = MAXVALUE; } return lookup_chain(p,1,N,m,s); } int lookup_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]) { if(m[i][j] < MAXVALUE) return m[i][j]; //直接返回，相当于查表 if(i == j) m[i][j] = 0; else { int k; for(k=i;k<j;++k) { int temp = lookup_chain(p,i,k,m,s)+lookup_chain(p,k+1,j,m,s) + p[i-1]*p[k]*p[j]; //通过递归的形式计算，只计算一次，第二次查表得到 if(temp < m[i][j]) { m[i][j] = temp; s[i][j] = k; } } } return m[i][j]; }
4)构造一个最优解
第三步中已经计算出来最小代价，并保存了相关的记录信息。因此只需对s表格进行递归调用展开既可以得到一个最优解。书中给出了伪代码，摘录如下：
PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,j) if i== j then print "Ai" else print "("; PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,s[i][j]); PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,s[i][j]+1,j); print")";
4、编程实现
采用C++语言实现这个过程，现有矩阵A1(30×35)、A2(35×15)、A3(15×5)、A4(5×10)、A5(10×20)、A6(20×25)，得到p=<30,35,15,5,10,20,25>。实现过程定义两个二维数组m和s，为了方便计算其第一行和第一列都忽略，行标和列标都是1开始。完整的程序如下所示：
#include <iostream> using namespace std; #define N 6 #define MAXVALUE 1000000 void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]); void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j); int main() { int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25}; int m[N+1][N+1]={0}; int s[N+1][N+1]={0}; int i,j; matrix_chain_order(p,N+1,m,s); cout<<"m value is: "<<endl; for(i=1;i<=N;++i) { for(j=1;j<=N;++j) cout<<m[i][j]<<" "; cout<<endl; } cout<<"s value is: "<<endl; for(i=1;i<=N;++i) { for(j=1;j<=N;++j) cout<<s[i][j]<<" "; cout<<endl; } cout<<"The result is:"<<endl; print_optimal_parents(s,1,N); return 0; } void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]) { int i,j,k,t; for(i=0;i<=N;++i) m[i][i] = 0; for(t=2;t<=N;t++) //当前链乘矩阵的长度 { for(i=1;i<=N-t+1;i++) //从第一矩阵开始算起，计算长度为t的最少代价 { j=i+t-1;//长度为t时候的最后一个元素 m[i][j] = MAXVALUE; //初始化为最大代价 for(k=i;k<=j-1;k++) //寻找最优的k值，使得分成两部分k在i与j-1之间 { int temp = m[i][k]+m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(temp < m[i][j]) { m[i][j] = temp; //记录下当前的最小代价 s[i][j] = k; //记录当前的括号位置，即矩阵的编号 } } } } } //s中存放着括号当前的位置 void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j) { if( i == j) cout<<"A"<<i; else { cout<<"("; print_optimal_parents(s,i,s[i][j]); print_optimal_parents(s,s[i][j]+1,j); cout<<")"; } }
结果：
5、总结
动态规划解决问题关键是分析过程，难度在于如何发现其子问题的结构及子问题的递归解。这个需要多多思考，不是短时间内能明白。在实现过程中遇到问题就是数组，数组的下标问题是个比较麻烦的事情，如何能够过合理的去处理，需要一定的技巧。