莫比乌斯反演在简化一些的数学算式，优化时间的方面效果显著，属于一种数学方法
在一些数学问题中，使用反演与整出分块的方法可以大大优化程序的运行效率
前置知识
符号：
- 规定：a⊥b的意思为：a与b互质
- 规定：[ X ] 的意思为：判断 X 是否为真，是则返回 1 ，否则返回 0，相当于一个bool类型的变量
- ps: 本文的数论函数一般用加粗字母（在数学公式中函数的为数论函数，未加粗
（不会））或希腊字母表示，如f ,g , (mu)
数论函数
- 定义：函数 f(x)为数论函数，是指其定义域为正整数域，陪域（可理解为值域）为复数域的函数
- 定义：数论函数加法： ( f+g )（x）=f(x)+g(x)
- 定义：数论函数数乘： x · f(n) = （x f） (n)
- 定义：积性函数：设有数论函数 f ，对于任意互质的两个正整数 x，y , 均有： (f（xy）= f(x) imes f(y))，则称函数 f 为积性函数
- 定义：完全积性函数：设有数论函数 f ，对于任意的两个正整数 x , y ,均有： (f( xy ) = f( x ) imes f( y ))，则称函数 f 为完全积性函数
常见的积性函数：
1.除数函数：(sigma_k(n))，表示 n 的所有约数的 k 次幂之和
2.欧拉函数：(varphi(n))，表示不超过 n 且与 n 互质的正整数的个数
3.莫比乌斯函数：(mu(n))，当 n = 1 时，函数的值为 1 ，当 n 可以表示为k个不同的质数之积时，函数的值为 (（-1)^k)，其余情况下，函数的值为 0
常见的完全积性函数
1.幂函数：(Id_k(n) = n^k)
2.单位函数：(varepsilon(n))，当 n 等于 1 时，函数的值为 1 ，当 n 大于 1 时，函数的值为 0
- 既然积性函数的性质为：(f(nm)=f(n) imes f(m))，那么就可以对一个积性函数利用线性筛在(O(n))的复杂度内将 1~n 之间的所有函数值处理得到
狄利克雷卷积
- 定义：狄利克雷卷积： 设有两个数论函数 f 和 g ,则定义 f * g （n）= (sum_{i|n} f (i) g (frac{n}{i})) ,其中卷积符号为 *，而非乘法运算符( imes)
狄利克雷卷积满足一些性质：
1.交换律：f * g (n) = g * f (n) ，将其展开，即可证明
2.结合律：( f * g ) * h (n) = f * ( g * h ) (n) ， 将其展开，变为：(sum_{i(jh)=n}{(f(i)g(h))h(k)}),交换枚举顺序，有：(sum_{i(jh)=n}{f(i)(g(h)h(k))}),即可证明
3.分配率：f * h + g * h =（f + g ）* h ， 还是展开：有：(sum_{ik=n}{f(i)h(k)} + sum_{jk=n}{g(j)h(k)}),做一步提取公因式，有：(sum_{k|n}{h(k)[g(frac{n}{k})+f(frac{n}{k})]} = sum_{k|n}{h(k)}{(f+g)(frac{n}{k})})，故等式成立
4.数乘：（x f）* g = x ( f * g )（显然易证）
5.单位元： f * (varepsilon) = f
6.逆元：设有数论函数 f ，则存在一个数论函数 g ，使得 f * g = (varepsilon) ，则称数论函数 g 为 f 的逆元
7.若 f ， g 为积性函数，则 f * g 亦为积性函数
8.(mu * I = varepsilon (varepsilon(n) = [n=1] , I(n)=1))
9.(varphi * I = id ~ (id(n) = n))
简证：该式子运用卷积，可以转化为： (sum_{d|n}{varphi(d)})
当 (n) 有且仅有一个质因子时，可以转化为 (sum_{i=1}^{k}{p^i} imes frac{p-1}{p} + 1)
，即为一个简单的等比数列，经化简，即可得到该式等于 (n)
其他情况下，即为每一个质因子都做如上式运算，即有 (sum_{j=1}^{k}{sum_{i_j=1}^{m_j}{varphi({p_j}^{i_j})}}) ，就等于 (n)
10.(mu * id = varphi)
莫比乌斯反演
莫比乌斯函数
上面已经给出了莫比乌斯函数的定义，这里讲几个性质
1.对于任意的正整数 n ，(sum_{d|n}{mu(d)=[n=1]})
2.对于任意的正整数 n ，(sum_{d|n}{frac{mu(d)}{d}} = frac{varphi(n)}{n})
对于第一条性质，使用(mu)的定义即可证明
对于第二条性质，它巧妙地将莫比乌斯函数 (mu) 和欧拉函数 (varphi) 结合到了一起，作为一条比较神奇的性质
对于第一条性质，还有一个较为常用的推论为：([gcd(i,j)=1]=sum_{d|gcd(i,j)}{mu(d)})
证明也比较简单，直接应用第一条性质，将(n)换成(gcd(i,j))即可
莫比乌斯反演
- 引理：(mu * 1 = varepsilon) (其中 “1” 为返回值常数函数)
- 定理：由引理即可得到莫比乌斯反演的式子：若有 (g(n) = sum_{d|n}{f(d)}) , 则有 (f(n) = sum_{d|n}{mu{(frac{n}{d})}g{(d)}})
同时，我们可以得到另一个方向上的莫比乌斯反演：若有 (g(x) = sum_{x|y}{f(y)}) , 则有 (f(x) = sum_{x|y}{mu{(frac{y}{x})}g{(y)}})
到此，莫比乌斯反演的内容就大致讲完了，下面放几道例题