(2019年2月19日注：这篇文章原先发在自己github那边的博客，时间是2016年10月28日)
最近应该是六叔的物化理论作业要交了吧，很多人问我六叔的作业里面有两道题要怎么进行图像函数的拟合。综合起来的问题主要有两个：
1. 知道图像的准确拟合方程，但是不知道怎么拟合。(这个是本文的重点)
2. 不知道图像的准确拟合方程，也不知道怎么拟合，这个我可以稍微提供一个拟合的方向。
先从不知道图像的准确拟合方程开始吧，当你拿到一组数据时，你肯定是先看横纵坐标写的是什么，在19题的第二问里面，要求蒸发焓和热力学温度的关系，学过物化的都知道，肯定是克劳修斯-克拉贝龙方程才能出现这两个变量的关系。因此这里我们就要利用这个方程对我们的数据进行变形。$$ln(frac{p}{p^{Theta}}) = frac{Delta_{p}H^{m}}{R}(frac{1}{373}-frac{1}{T})$$
这就很明显了嘛，把我们得到的蒸气压除以标准状态下的气压，它的对数和$-1/T$成线性关系，接着就不用我说了吧。数学建模的其中一个思路是根据已有的经验公式进行改进和修正啊，因为建模也要符合基本法啊，不能随便就上个算符吧。
18题我留着后面说，先把19题的第一问的完整拟合过程在这里写一遍。
1. 根据已有的拟合形式将所需要的数据处理好，19题的公式是：$$lg(p) = A-frac{B}{T-C}$$要的自变量是热力学温度T，因变量是$log_{10}(p)，先整理好，这个在Excel里面是很容易的事情。
2. 打开Origin，我的是2015，不同版本操作大同小异，打开Analysis→ Fitting→ Nonlinear Curve Fit→ Open dialog。
3. 在Category里面选择User Defined，可见Origin的拟合函数也是类似于Matlab的M文件一样可以自己编写。
4. 当然是选择New一个函数咯，不是New一个对象。
5. 从这张图开始，注意看左边的Hints，这个比网上的所谓的教程不知道高到哪里去了。从Hints中可以看到，要输入函数名，后缀名是FDF，然后是函数模型，Explicit是指明确的，Function Type是表达式，也就是所谓的y=f(x)的形式，可以看到还能选Equlations，左边的Hints告诉我们，这种类型是处理只有一个自变量的。
6. 点击Next，这个界面是输入自变量，因变量，参数的名字，感天谢地我的数理统计是英文版的，这里直接阅读无压力，可以看到，多个参数时用逗号分隔。
7. 这一个界面是整个过程最关键的部分，自定义函数的拟合过程中最重要的就是初值的选取，这里我们先按照要求把函数的形式输入。注意到左边的Hints，Fixed是说如果初值选取的不好的时候也不能变参数的值，显然不符合我们的意思，所以我们这里都不勾选。Fixed用在已经确定了某些参数的范围的时候。接着是初值的尝试，看到了下面的Quick Check了吗，这里是要我们选取不同的ABC作为初值，使得我们输入一个T的时候，跑出来的结果接近我们测试出来的数据值。
8. 经过漫长的测试，我测试出了一组值，只要接近就可以，不需要完全吻合，然后点击Next。
9. 这个界面也是非常的重要，刚才是测试一个点，现在就是需要将一个点变成一组数值，使得我们的函数尽可能匹配多的测试值，我们点击红色框框中的按钮，打开代码界面。
10. 看到这个界面，一股浓浓的C++代码风格袭来……，确实长的很像C++，但是又混有Matlab的风格，根据Matlab的思路，很容易就想到这个Vector存储的就是Matlab的矩阵中的值，至于这些double类型的，明显就是数字啦，这里提示我们，Code to be executed to initialized parameters，代码将在初始化参数以后执行。我们要把我们的表达式输入进去，使得vector能存储尽可能多而接近的测试值，根据变量存储的名字，很容易就知道输入的是什么东西。
11. 点击左上方的Compile，也就是编译，果然是C++风格的代码……，看到编译成功，如果失败的话请仔细检查是不是少打了什么东西，不过以逗号作为每行结尾也是反人类……
12. 然后关闭代码窗口，看到这里多来一串这样的符号，然后点击Next，一路Next直到Finish。
13. Finish以后回到这个界面，然后点击红色方框中的按钮，这个是指Fit untiled Converged，也就是根据Chi-Square Test，直到满足条件以后才能函数收敛，点击一次就可以了。可以看到提示，Fit may be Converged。
14. 点击Fit，我们就能看到一条很漂亮的拟合曲线了，R-Square还是0.99997哦，相信这个拟合应该满足要求了，接下来小伙伴就知道怎么做了吧。
好了开始研究18题，18题里面原来是没有公式的，但是不少小伙伴拿到答案，答案里面是一种很奇怪的拟合方式，并且还有迭代什么的，其实本质上也不难，也是利用刚才的方法，只不过这里就多了好几步，其中一个是在第5步输入参数名时要把常量名字输入，这里比如说是sigma，然后在尝试初值的时候要将Constant界面的sigma的值输入为0.07275，才能开始尝试初值。
按照上述的步骤开始做自定义函数拟合，得到的界面如下。这里的Iteration Algorithm就是答案里所写的方法，不过这个Fit did not Converge是什么情况啊，我试了很多次都不行，包括答案给的初值以及自己试的初值，后来硬着头皮直接Fit，发现也能够Fit的出来，只是。
第一个是根据上述的Fit出来的结果，不觉得这个0.996瞬间low了很多了吗，而且它还是未收敛的，换句话说，肯定存在一个形式比它更好的式子满足要求。
我们回头看看式子，你看到了ln(1+x)，你看到这个难道真的不会想到用泰勒展开吗，用一下不就啥问题都解决了吗，而且多项式拟合在Origin里是有快捷键的啊！
根据Analysis→ Fitting→ Polynormal Fit，随手试了2,3,4三个数，至少这3个数拟合出来的R-Square都比那个自定义函数的高，其中3又是最高的那一个，因此我们只要选3次多项式作为拟合值就好了啊，当然咯，能够用泰勒展开式的前提，是余项要趋于0，因此，泰勒展开式也不能随便乱用。
