错题
评分出错
题目要求的是 "any" ，而答案只给出了一个。所以认为回答者没有理解题意，连 any 都没有理解。所以 0 分。
第一，标准的归纳法只能对自然数使用，而题目要求的是所有整数，所以使用标准归纳法是错误的；
第二，使用标准归纳法，证明 (n+1) 成立时错误，原因是没有使用假设 n 成立时的等式。
得分为：
逻辑正确：并不是说言论对了就给 4 分，还要看它得出这个言论的逻辑是否正确。这里使用归纳法，只能证明自然数，所以给两份。使用归纳法出错，只能给一分了。
理由：由于给出了 key idea："One of (n+1), (n+2) must be even"，所以给两分。
一开始审阅的时候没有看懂它的逻辑而给分了。这里想要证明 4n + 1 和 4n + 3 都是奇数。而题目要求的是所有奇数都能用这两个表达。
没有理解题意，0分。
看不懂回答在说什么。给 0 分，不要怕被别人说水平不行。
7. 
Opening: 由于没有提到归纳法，所以是 0 分。
State conclusion: 没有阐述结论。并不是你说了结论是什么就给你这个分，还要根据你的逻辑能够得出这个结论，像这里的 "That completes the proof" 没有证明问题，得出的结论是「当 n 成立时， n + 1 也成立」，显然，没有阐述真正的问题。
Reasons: 2分。提到了归纳法的使用条件，但是没有真正指出归纳法。
8
Clarity: 可能对于数学家来说能补充空白，但是对于学生来说会感到困惑，所以给 2 分。
Opening: 缺少 Let epsolon > 0 be given，所以 0 分（定理使用缺少条件，感觉过于严格）。
State conclusion： 根据逻辑，能得出结论，并且明确阐明了结论。
Reasons："which shows that" 并没有说明理由，但从逻辑中能看出部分理由，所以给 2 分。
这道题目的意思是，An 是一个区间，由你提出一个具体的例子，然后证明它拥有题目中的两个属性。
Logical correctness: 由于相邻两个集合就没有交集，所以不满足 An+1 属于 An 所在区间。所以 0 分。
分数的作用是给予学生反馈。所以，我们假设是对的，再看看这个证明。由于只证明了一半，所以都给 2 分，但总体而言，答案是错误的，所以是 0 分。
我认为没有证明 An+1 属于 An，所以理由给 2 分；不够清楚，给 3 分，所以是 21 分。