前言
这是九度5月份月赛的题目,一道基础的动态规划题目,当时对动态规划理解的不够深入,这之后的2个星期时间,也在有意的学习动态规划的思想,动态规划关键在于思想,然后就是对于题目的分析,这里ac了也记录一下自己的分析过程。
题目
题目描述: 小明每天都在开源社区上做项目,假设每天他都有很多项目可以选,其中每个项目都有一个开始时间和截止时间,假设做完每个项目后,拿到报酬都是不同的。由于小明马上就要硕士毕业了,面临着买房、买车、给女友买各种包包的鸭梨,但是他的钱包却空空如也,他需要足够的money来充实钱包。万能的网友麻烦你来帮帮小明,如何在最短时间内安排自己手中的项目才能保证赚钱最多(注意:做项目的时候,项目不能并行,即两个项目之间不能有时间重叠,但是一个项目刚结束,就可以立即做另一个项目,即项目起止时间点可以重叠)。 输入: 输入可能包含多个测试样例。 对于每个测试案例,输入的第一行是一个整数n(1<=n<=10000):代表小明手中的项目个数。 接下来共有n行,每行有3个整数st、ed、val,分别表示项目的开始、截至时间和项目的报酬,相邻两数之间用空格隔开。 st、ed、value取值均在32位有符号整数(int)的范围内,输入数据保证所有数据的value总和也在int范围内。 输出: 对应每个测试案例,输出小明可以获得的最大报酬。 样例输入: 3 1 3 6 4 8 9 2 5 16 4 1 14 10 5 20 15 15 20 8 18 22 12 样例输出: 16 22
思路分析
这道题是典型的动态规划题目,类似与0-1背包问题,并且比0-1背包问题简单,动态规划的一般步骤是:
- 描述最优解的结构
- 递归定义最优解的值
- 按自底向上的方式计算最优解的值
- 由计算出的结果构造一个最优解
ok,我们按照步骤来,首先分析一下最优解的结构,这也是最关键的一步:
- 将项目根据结束时间ed大小进行升序排序,消除后效性
- 设到第i个项目的最大报酬为f[i],则最优解结构为f[i] = max{f[i - 1], task[i].val + f[j]},其中j为满足task[j].ed < task[i].st最大的一个数。
解释起来非常简单:当进行到第i个项目时,最大的报酬要不等于第i - 1项目的报酬,要不就等于第i个项目的报酬 + 结束时间小于i项目开始时间的项目j时的最大报酬
代码写起来也很简单,用for循环,并且用数组保持之前遍历的值
AC代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> long long int pay[10005]; struct task { int begin, end, value; }; long long int relative_max(int i, struct task *t) { int j = 0; while (t[j].end <= t[i].begin) { j ++; } // 找到最近的一个截至时间小于指定时间的项目 j -= 1; return pay[j] + t[i].value; } int compare(const void *p, const void *q) { const struct task *a = p; const struct task *b = q; return a->end - b->end; } int main() { int i, n; long long int cost1, cost2; struct task tasks[10005]; while (scanf("%d", &n) != EOF) { for (i = 0; i < n; i ++) { scanf("%d %d %d", &tasks[i].begin, &tasks[i].end, &tasks[i].value); } // 按照截至时间排序 qsort(tasks, n, sizeof(tasks[0]), compare); // 典型的动态规划 // 最优子问题解为:max(cost[i - 1], task[i].value + 结束时间小于task[i].end的最大值) pay[0] = tasks[0].value; for (i = 1; i < n; i ++) { cost1 = pay[i - 1]; cost2 = relative_max(i, tasks); pay[i] = (cost1 >= cost2) ? cost1 : cost2; } printf("%lld\n", pay[n - 1]); } return 0; } /************************************************************** Problem: 1499 User: wangzhengyi Language: C Result: Accepted Time:170 ms Memory:1040 kb ****************************************************************/