分治法的基本思想:将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同。递归地解这些问题,然后将各个子问题的解合并成原问题的解。它的一般的算法设计模式如下:
divide-and-conquer(P)
{
if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决小规模的问题
divide P into smaller subinstancesP1,P2,...,Pk;//分解问题
for (i=1,i<=k,i++)
yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题
return merge(y1,...,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解
}
人们从大量实践中发现,在用分治法设计算法时,最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想,它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
分治法的适用条件:
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加,因此大部分问题满足这个特征。
- 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质这条特征是应用分治法的前提,它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用
- 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征,如果具备了前两条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑贪心算法或动态规划。
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。这条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然也可用分治法,但一般用动态规划较好。
分治法的复杂性分析:
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:
递归的概念:
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
优点:结构清晰,可读性强,而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性,因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点:递归算法的运行效率较低,无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
解决方法:在递归算法中消除递归调用,使其转化为非递归算法。
- 采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强,但本质上还是递归,只不过人工做了本来由编译器做的事情,优化效果不明显。
- 用递推来实现递归函数。
- 通过变换能将一些递归转化为尾递归,从而迭代求出结果。
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善,但其适用范围有限。