• 傅里叶级数


    一:指数形式

    给定一个周期为T的函数f(t),那么它可以表示为无穷级数:

    f(t)=∑k=-∞+∞ak*eik(2∏/T)ti为虚数单位)(1)
    ak=(1/∏)∫02∏f(t)*e-ik(2∏/T)tdt

    二:正弦形式

    1:在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中 A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成

    f(t)=A0+∑n=1+∞Ansin(nωt+Φ) =A0+∑n=1+∞ancos(nωt)+bnsin(nωt)

    (根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)

    其中Ansin(nωt+Φ)=ancos(nωt)+bnsin(nωt) 是n阶谐波,
    我们称上式右端的级数是由f(t) 所确定的傅里叶级数

    2:三角函数正交性

    设 c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三 角函数 是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有


    利用积化和差的三角公式容易证明

    还有

    我们考察三角函数系

    其中每一个函数在长为 的区间上定义,其中任何 两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 , 而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个 函数系在长为 的区间上具有正交性。

    三:傅里叶级数

    设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f(x)=(a0/2)+Σk=1+∞akcos(kx)+bksin(kx),现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a0,ak,bk (k=1,2....n)与f(x) 的关系。将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分,右边级数可以逐项积分,由(1)得到



    又设n是任一正整数,对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分,由假定,右边可以逐项积分,由(1)和(2)(3) ,得到

    即:

    同样可得:

    因此得到欧拉-傅里叶公式:

    自然,这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积 分。

    以上是在f(x) 已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看,只要周期为2Π的函数f(x)在区间[-Π,+Π]上可积和绝对可积(如果f(x)是有界函数,则假定它是可积的。这时它一定是绝对可积的;如果f(x)是无界函数,就假定他是绝对可积,因而也是可积的,这样,不论在哪一种情形,都是可积和绝对可积了),就可以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 ,从而作出三角级数 

    我们称这级数是f(x)关于三角函数系 的傅里叶级数,而ak,bk称为f(x)的傅里叶系数,记为

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