P3986 斐波那契数列(扩欧求逆元)

思路

当我刚开始看到这个题的时候，还没有什么思路，但是当我列出了几个关于 (a,b,k) 的式子：

[a+b=k\a+2b=k\2a+3b=k\3a+5b=k\dots ]

可能还不太明显，仔细观察 (a,b) 的系数，可以发现，这不就是斐波那契数列吗！！！

那么我们设 (f(x)) 为斐波那契数列的第 (x) 项，那么可以转化为：

[f(0)*a+f(1)*b=k\f(1)*a+f(2)*b=k \f(2)*a+f(3)*b=k\dots\f(x-1)*a+f(x)*b=k ]

那么我们就可以枚举 (x) 。

然后，移项，可得：

[b=dfrac{k-f(x-1)*a}{f(x)} ]

由于 (b) 为整数，所以相当于求多少 (a) 可以使得 (f(x)|k-f(x-1)*a) 成立，即：

[k-f(x-1)*aequiv 0~(mod~f(x))\f(x-1)*aequiv k~(mod~f(x))\aequiv k*inv(f(x-1))~ (mod~f(x)) ]

由于 (f(x)) 和 (f(x-1)) 互质（这里就不证明了），可以直接扩欧干上去求逆元，然后差不多了

（小trick：因为 (k-f(x-1)*a>0) 即 (a<dfrac{k}{f(x-1)})，所以可以枚举的更少了）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;
const int N=45;
const int n=40+2;
const int mod=1000000007;
ll f[N],K,ans;

ll exgcd(ll A,ll B,ll &x,ll &y)
{
    if(B==0)
    {
        x=1,y=0;
        return A;
    }
    ll temp=exgcd(B,A%B,x,y),z=x;
    x=y,y=z-(A/B)*y;
    return temp;
}

ll inv(ll A,ll POI)
{
    ll t,tt;
    exgcd(A,POI,t,tt);
    return (t%POI+POI)%POI;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&K); 
    f[1]=f[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ll a=(K*inv(f[i-1],f[i]))%f[i],to=K/f[i-1]-1;
        if(a<to)
        {
            if(a==0) ans--;
            ans=(ans+1+(to-a)/f[i])%mod;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}