九度oj 题目1085：求root(N, k) 清华2010年机试题目

题目描述：

    N<k时，root(N,k) = N，否则，root(N,k) = root(N',k)。N'为N的k进制表示的各位数字之和。输入x,y,k，输出root(x^y,k)的值 (这里^为乘方，不是异或)，2=<k<=16，0<x,y<2000000000，有一半的测试点里 x^y 会溢出int的范围(>=2000000000) 

输入：

    每组测试数据包括一行，x(0<x<2000000000), y(0<y<2000000000), k(2<=k<=16)

输出：

    输入可能有多组数据，对于每一组数据，root(x^y, k)的值

样例输入：

4 4 10

样例输出：

4

这道题我苦思冥想了很久，最令我头疼的就是数据的范围，2000000000的2000000000次方该有多大，如何去计算?
每次都要求N的k进制表示的各位数字之和，那么一要取模，二要求除法，这么大的数怎么做。题目考的一定不是大数的运算，肯定存在某种规律，那么这种规律是什么？

在思考的过程中，首先考虑了 1. (a*b)mod N = (a * (b mod N)) mod N;
其次也考虑到了

每次都要求N的k进制表示的各位数字之和,那么最后的那个和就是 2. N mod (k-1)  (这个是凭找规律看出来的)

但接下来自己的思路就比较混乱，不知道该怎么处理x的y次方的问题，想了很久也没有想出来。

最后忍不住看了看其他人的题解，
他们确实求了x的y次方，而且用的是反复平方法来求，并且在求的过程中直接做取模运算，避免了数据溢出。差距就在这里。
代码如下

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long ll;


int root(ll x, ll y, ll k) {
    ll mi = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) {
            mi = (mi*x) % k;
        }
        x = (x * x)%k;
        y = y >> 1;
    }
    return mi;
}

int main() {
    ll x, y, k;
    while (scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &k) != EOF) {
        ll ans = root(x, y, k-1);
        if (ans == 0) {
            ans = k - 1;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}

关于第2点

　　　 N=a0+a1*k+a2*k^2+……an*k^n

      N'=a0+a1+a2+……+an

      N-N'=a1*(k-1)+a2*(k-1)^2+a3*(k-1)^3+......+an*(k-1)^n

      (N-N')%(k-1)=0

      (N'-N'')%(k-1)=0

     .....

      (N(r-1)-N(r))%(k-1)=0

      相加得(N-N(r))%(k-1)=0

      N(r)=N%(k-1)

      故(x^y)%(k-1)就是我们要求的。

      当(x^y)%(k-1)=0时，注意结果为k-1