最小公倍数
定义：a1,...an(n≥2)，m 为a1,...an的公倍数，[a1,a2,...an]代表为a1,...an的最小公倍数
用数学公式表示为以下：
①ai|[a1,a2,...an],i≤1≤n
②∀m,a1|m,a2|m,...an|m(m>=1),且m>=[a1,a2,...,an]
定理一：若a|m,b|m,则[a,b]|m
定理二：[a,b]=a*b/(a,b)
证明：设m=[a,b]*q+r,0≤r<[a,b]
∵a|m,∴a|[a,b]
∴a|r
同理可得，b|r,故[a,b]|r
若r>=1,则[a,b](最小公倍数)<=r(公倍数)
∵r<[a,b]，结论与实际相矛盾，故假设不成立，故r=0
又∵a=((a*b)/[a,b])*([a,b]/b)，故(a*b/[a,b])|a
同理可证(a*b/[a,b])|b
即(a*b/[a,b]) | (a,b)
得： a*b/[a,b]<=(a,b) 。。。①
又∵a*b/[a,b]=a*(b/[a,b])，故a|(a*b/[a,b])
同理可知，b|(a*b/[a,b]),即(a,b)|(a*b/[a,b])
故(a,b)<=(a*b/[a,b])。。。②
结合①和②可知，[a,b]=a*b/(a,b)
得证
定理二：设a1,a2,...,an(∈Z),n>=2，则[a1,a2,...an]=mn
证明：
[a1,a2]=m2,[m2,a3]=m3
故a1|m2,a2|m2 , m2|m3,a3|m3
∴a1|m3,a2|m3,a3|m3
故[a1,a2,a3]|m3
设a1|m,a2|m,a3|m，即m为a1,a2,a3的倍数
∵[a1,a2]=m2，故m2|m
∵[m2,a3]=m3，故m3|m
即m3<=m
故m3为公倍数中的最小值，以次类推至n种情况，得证
整数的唯一分解定理
素数定义：∀d∈Z+,d|P
合数定义：∃d,d1,1<d<C,1<d1<C,C=d*d1
引理1：若a∈Z,a≥2,q是a中≥2的最小因子，则q是素数，当a时合数时，q≤根号a
证明：
①假设q为合数，则q=d*d1,∴2≤d,d1<q
∴d|q又∵q|a,故d|a->d为a的因子且d<q,故此时q就不是a的最小因子，与q最小相矛盾，假设不成立
所以d为素数
②若a为合数，则a=q*q1
∵q<=q1
故q*q<=q*q1
即q*q<=a
所以q<根号a
引理2：若p为素数，∀a∈Z,则p|a或(p,a)=1(整数与素数之间的关系)
引理3：若p为素数，p|a*b,则p|a或p|b
定理：∀a=2，∃p1≤p2≤...≤pn(pi均为素数)，使得a=p1*p2*...*pn,且若q1≤q2≤...≤qn是素数，且a=q1*q2*...*qm，则m=n,qi=pi(满足这样的素数唯一)
一次不定方程
二元不定方程：
a1*x+a2*y=n (a1,a2≠0) ①
定理1：①有解，当且仅当(a1,a2) | n
定理2：若(a1,a2)=1,则①的全部解为
x=x0+a2*t
y=y0-a1*t,其中x0,y0是①的一组解(t∈Z)