• 数据结果与算法分析(1)——算法分析


        在确定一个算法正确的同时,也要保证算法的有效性。算法分析的最重要的标准时运行时间T(N),运行时间与输入元素个数N有关。

    数学基础

            T(N) = O(f(N)) 表示T(N)以不快于f(N)的速度增长,也就是说,f(N)是T(N)的上界。f(N) = Ω(T(N)) 表示T(N)是f(N)的下届。

            例:N3增长快于N2,因此N2 = O(N3) 或 N3 =Ω(N2)

            法则:

      1. 若T1(N) = O(f(N))且T2(N) = O(g(N)),则有(a) T1(N)+ T2(N) = max{ O(f(N)) , O(g(N)) };(b)  T1(N)* T2(N) =O( f(N *  g(N) ).
      2. 如T(N)是k次多项式,则T(N) = theta( Nk )
      3. logkN = O(N)

            大O中不包含常数项和低阶项。

    算法运行时间

            算法估计的运行时间一般是最坏运行时间。运行时间计算的一般法则:

      1. for循环:至多是for循环的语句(包括测试)的运行时间乘以迭代次数。
      2. 嵌套for循环:嵌套内的一条语句的运行时间是该语句运行时间乘以所有外层for循环大小的乘积。
      3. 顺序语句:所有语句中运行时间的最大值。
      4. if S1 else S2:至多为判断加上max(S1,S2)。

    算法举例  (1)最大序列和问题

    最大序列和问题的求解给出了四种解法,其中前两种解法是最常规的遍历所有的子序列和,这样的方法运行时间比较大,分别为O(N3)和O(N2),对于这两种方法这里不详细叙述,重点叙述采用所谓“分治策略”的算法以及一个十分巧妙的算法。

    解一:

    将整个序列划分成三个部分,左半部分、右半部分以及跨越中部包含左右的中间部分。那么子序列和的最大值就只能出现在这三个位置。这样就可以以递归的方式求得左右部分的最大子序列和,然后将二者结合求出中间部分(包含左半部分的最后一个元素和右半部分的第一个元素)的最大子序列和。这个算法的时间复杂度为O(N logN)算法代码如下。

    static int
    MaxSubSum(const int A[], int left, int right)
    {
        int MaxLeftSum, MaxRightSum;
        int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;
        int LeftBorderSum, RightBorderSum;
        int center, i;
    
        if(left == right)
        {
            if(A[left] > 0)
                return A[left];
            else
                return 0;
    
        }
    
        center = (left + right) / 2;
        MaxLeftSum = MaxSubSum(A, left, center);
        MaxRightSum = MaxSubSum(A, center + 1, right);
    
        MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
        for(i = center; i >= left; i --)
        {
            LeftBorderSum += A[i];
            if(LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum)
                MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
        }
        
        MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
        for(i = center + 1; i <= right; i ++)
        {
            RightBorderSum += A[i];
            if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
                MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
        }
    
        return Max( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum);
    
    }
    int 
    MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)
    {
        return MaxSubSum(A, 0, N-1);
    }

    解二:

    这种解法可以被叫做扫描法,因为它只需要对数据进行一次扫描,一旦A[i]被读入处理,A[i]就不需要被记忆了,算法能对它已经读入的数据给出正确答案,这样的算法也叫做联机算法(online algorithm)。现在来解释这一个算法的运行过程,对于一个数列中的元素,依次读入数组的元素并求和,每次求和之后与之前获得的最大和比较,若比之大则更新最大和,若比之小则不更新,若小于0,则令为0(题设:若数据全为负,则输出为0)。如果前k个数的和为负,那么这个和与之后的元素的和不会大于这个元素本身,因此将有负数的和令为0是可行的。

    下面先给出这种算法的代码表示。

    int 
    MaxSubsequenceSum(const in A[], int N)
    {
        int ThisSum, MaxSum, j;
    
        ThisSum = MaxSum = 0;
        for(j = 0; j < N; j++)
        {
            ThisSum += A[j];
    
            if(ThisSum > MaxSum)
                MaxSum = ThisSum;
            else if(ThisSum < 0)
                ThisSum = 0;
        }
        return MaxSum;
    }

    算法举例 (2)对分查找

    对分查找:给定一个整数X和整数A0,A1…….An-1,后者已排序,求X在A中的下标,若不在数据中返回-1。

    对分查找的基本思想是,用X与中间元素对比,如相等则可返回,若X比中间元素大,则继续在后半部分(假设升序)递归查找,反之在前半部分递归查找。算法如下:

    int 
    BinarySearch(const ElementType A[], ElementType X, int N)
    {
        int left, right, mid;
    
        left = 0; right = N - 1;
        mid = (left + right) / 2;
    
        while(left <= right)  //查找是否结束
        {
            if(X == A[mid])
                return mid;
    
            else if(X > A[mid])
                left = mid + 1;
            else 
                right = mid - 1;
        }
    
        return -1;
    }

    算法举例 (3)欧几里得算法

    欧几里得算法是用来计算最大公因数的。从下面的算法描述中可以看出,这个算法非常精妙,而且复杂度为O(logN)。欧几里得算法依赖一个定理

    gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)

    实际上,在算法中如果N>M时,循环的第一次迭代将使他们互换。

    unsigned int Gcd(unsigned int M, unsigned int N)
    {
        unsigned int Rem;
    
        while(N > 0)
        {
            Rem = M % N;
            M = N;
            N = Rem;
        }
        return M;
    }

    算法举例 (4)高效率求幂运算

    常规的XN求幂运算方法是对X进行N-1此自乘,其复杂度为O(N),可以想象,在N很大的时候其消耗还是很惊人的。因为XN=XN/2*XN/2,于是有下面递归实现的高效率求幂运算。由于把一个求幂运算分成两个最多只需要两次乘法(N为奇数时),所以乘法总次数最多为2logN.

    long int    //long int防止过大的数溢出
    Pow(long int X, unsigned int N)
    {
        if(N == 0)
            return 1;
        if(N == 1)
            return X;
        if(N % 2 == 0)
            return Pow(X*X, N/2);
        else
            return Pow(X*X, N/2) * X;
    
    }
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