HDU 1575 Tr A （矩阵乘法）

Tr A

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Problem Description

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

Output

对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

Sample Input

2
2 2
1 0
0 1
3 99999999
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Sample Output

2
2686

Author

xhd

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

 矩阵乘法模板题

给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。

 

　　由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。

 

递归实现POW函数

Matrix POW( Matrix t,int k )

{

       if( k == 1 )

           return t;

       Matrix t1 = POW( t, k/2 );

       t1 = t1*t1;

       if( k & 1 )

           return t1 * t;

       else

           return t1;

}

递归的容易理解，但时间花费较多。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

const int mod=9973;

int n,k;

struct Matrix{
    int arr[12][12];
};

Matrix init,unit;

Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix c;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++){
            c.arr[i][j]=0;
            for(int k=0;k<n;k++)
                c.arr[i][j]=(c.arr[i][j]+a.arr[i][k]*b.arr[k][j]%mod)%mod;
            c.arr[i][j]%=mod;
        }
    return c;
}

Matrix Pow(Matrix a,Matrix b,int x){
    while(x){
        if(x&1){
            b=Mul(b,a);
        }
        x>>=1;
        a=Mul(a,a);
    }
    return b;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++){
                scanf("%d",&init.arr[i][j]);
                unit.arr[i][j]=init.arr[i][j];
            }
        Matrix res=Pow(init,unit,k-1);
        int ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            ans=(ans+res.arr[i][i])%mod;
        printf("%d\n",ans%mod);
    }
    return 0;
}

 一些练习：

POJ  3070 Fibonacci： http://poj.org/problem?id=3070

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

struct Matrix{
    int m[2][2];
};

Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix c;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++){
            c.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<2;k++)
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
            c.m[i][j]%=10000;
        }
    return c;
}

Matrix Pow(int k){
    Matrix unit,res;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++){
            unit.m[i][j]=res.m[i][j]=(i+j==2)?0:1;
        }
    while(k){
        if(k&1){
            res=Mul(res,unit);
        }
        unit=Mul(unit,unit);
        k>>=1;
    }
    return res;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int n;
    while(~scanf("%d",&n) && n!=-1){
        Matrix tmp=Pow(n);
        /*
        printf("-----------------\n");
        for(int i=0;i<2;i++){
            for(int j=0;j<2;j++)
                printf("%d ",tmp.m[i][j]);
            printf("\n");
        }
        printf("-----------------\n");
        */
        printf("%d\n",tmp.m[1][1]);
    }
    return 0;
}

HDU  1005 Number Sequence: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1005 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

struct Matrix{
    int m[2][2];
};

int A,B,n;

Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix c;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++){
            c.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<2;k++)
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
            c.m[i][j]%=7;
        }
    return c;
}

Matrix Pow(int k){
    Matrix res,unit;
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            res.m[i][j]=(i!=j)?0:1;
    unit.m[0][0]=0;
    unit.m[0][1]=B;
    unit.m[1][0]=1;
    unit.m[1][1]=A;
    while(k){
        if(k&1){
            res=Mul(res,unit);
        }
        unit=Mul(unit,unit);
        k>>=1;
    }
    return res;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    while(~scanf("%d%d%d",&A,&B,&n)){
        if(A==0 && B==0 && n==0)
            break;
        if(n==1 || n==2){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        Matrix res=Pow(n-2);
        printf("%d\n",(res.m[0][1]+res.m[1][1])%7);
    }
    return 0;
}