HDU 2993 MAX Average Problem (斜率DP)

MAX Average Problem

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 4416    Accepted Submission(s): 1106

Problem Description

Consider a simple sequence which only contains positive integers as a1, a2 ... an, and a number k. Define ave(i,j) as the average value of the sub sequence ai ... aj, i<=j. Let’s calculate max(ave(i,j)), 1<=i<=j-k+1<=n.

 

Input

There multiple test cases in the input, each test case contains two lines. The first line has two integers, N and k (k<=N<=10^5). The second line has N integers, a1, a2 ... an. All numbers are ranged in [1, 2000].

 

Output

For every test case, output one single line contains a real number, which is mentioned in the description, accurate to 0.01.

 

Sample Input

10 6

6 4 2 10 3 8 5 9 4 1

 

Sample Output

6.50

 

Source

2009 Multi-University Training Contest 19 - Host by BNU

 

Recommend

chenrui

 

 

 

http://wenku.baidu.com/view/f6421ce8b8f67c1cfad6b8ac.html

 

这个也是论文上的例题，给你一个正数序列，注意全是正数，否则就不满足和的单调性了，关于这个结论某些部分就不能在运用了，我先说一下前提条件，我就是前提条件没搞请，才弄的模模糊糊的，弄清楚前提条件后就会发现其实不是很难的。

前提条件：

1.所有的数均是(保证了他们的和是单调递增的)

2.求的是连续的序列，且序列的长度大于等于k

3.求的是序列的最大平均值，也就是（i, sum[i]）值中斜率最大的那个值

解体思路：

现在我只是干讲，如果感觉不形象的话，可以参考那篇著名的论文。

由于我们是要求斜率最大值，如果枚举的话，我们肯定是把当前的点与它前面的所有的点求斜率，取最大值。

现在我们想降低复杂度，我们可以从两个方面入手，

1，去掉每个位置前面的那些在后来的枚举中不可能产生最优解的点

2，快速的去定位最优解

首先讲第一个：

1.如何减少不必要的枚举呢？

我们假设存在三个点，i，j, k三个点构成的是上凸包，现在我们沿着j，k作延长线，如何后来的点在延长线的下方，那么该后来的点是不能构成最优解的，因为当前延长线的解已经比后来的点构成的所有的点优或则说与i构成的直线的斜率一定比与j构成的斜率大，如果后来的点在延长线的上方，那么你会发现与k构成的斜率肯定比与j构成的斜率大，那么问题就出现了，j不可能在后来的更新中形成最优解，那么就可以将其删除，这样在后来的枚举中少了它了。很神奇的证明，不过的确特别的有用。

2.如何更快的去定位最优解呢？

一般的做法就是二分，不过这里的做法很绝，把原来O(NlgN)的做法优化到了，O(N)

还是把不可能构成最优解的删掉，（注意sum[i]是单调递增的），如果当前构不成最优解，那么在后来的点着中是不可能构成最优解的，因此可以删掉，到底为什么，还是自己看自己想。这里维持最小长度为k还是很巧秒的，不过HDU交C++可过，交G++TLE，据说只要有C++那么它的服务器系统肯定是windows，那么交G++调用MingW肯定会慢的。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

const int maxn=100010;

double sum[maxn];
int q[maxn];

double cross(int i,int j,int k){
    double tmp;
    tmp=(k-i)*(sum[j]-sum[i])-(j-i)*(sum[k]-sum[i]);
    return tmp;
}

double max(double a,double b){
    return a>b?a:b;
}

int Input(){
    char c;
    int ans;
    while(c=getchar(),c<'0' || c>'9') ;
    ans=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0' && c<='9')
        ans=ans*10+c-'0';
    return ans;
}

double f(int i,int k){
    i=q[i];
    return (sum[k]-sum[i])/(k-i);
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int n,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k)){
        sum[0]=0;
        int i,j;
        for(i=1;i<=n;i++)
            sum[i]=sum[i-1]+Input();
        int head=0,rear=0;
        double ans=0;
        for(i=k;i<=n;i++){
            j=i-k;
            while(head<rear && cross(q[rear-1],q[rear],j)>=0)
                rear--;
            q[++rear]=j;
            while(head<rear && f(head+1,i)>=f(head,i))
                head++;
            ans=max(ans,f(head,i));
        }
        printf("%.2lf\n",ans);
    }
    return 0;
}