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LeetCode 面试题14- II. 剪绳子 II
题目
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]k[1]...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
- 2 <= n <= 1000
注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-ii-lcof
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解题思路
思路1-贪心算法
首先分析贪心条件，以哪个值分割最大呢？
假如以x等值分割后乘积最大：
- 可分割为：(frac{n}{x})段；
- 最终乘积为：(left(x^{frac{1}{x}} ight)^{n})；
因为n为常数，去掉n后，最终公式为 (y=x^{frac{1}{x}})；
即问题转化为求(x^{frac{1}{x}})的最值问题，这需要求导解决，最终的结果为e，而e的取值为2.71828...；
因为只能整数分割，那么，最佳值可能为2或者3，因为有：
- (2^{frac{1}{2}}(约为1.41)<3^{frac{1}{3}}(约为1.44))；
- 更直接的，当n取6时有：(left(2^{frac{1}{2}} ight)^{6}<left(3^{frac{1}{3}} ight)^{6})，即(2^{3}<3^{2})；
所以，3是最优解，分割的贪心规则为：
- 优先分割为3的长度；
- 最后剩余的部分可能为0，1，2，其中若余1，则需要把最后剩余的4改为分割成2和2，毕竟(3*1<2*2)；
此外：
- 因为(m>1)，即至少要分割一次，当(n<4)时，需要作特例判断；
- 因为n可能很大，中间数需要用long保存，最后再转回int；
算法复杂度:
- 时间复杂度： $ {color{Magenta}{Omicronleft(n ight)}} $
- 空间复杂度： $ {color{Magenta}{Omicronleft(1 ight)}} $
算法源码示例
package leetcode;
/**
* @author ZhouJie
* @date 2020年4月30日 下午11:52:44
* @Description: 面试题14- II. 剪绳子 II
*
*
*/
public class LeetCode_Offer_14_2 {
}
class Solution_Offer_14_2 {
/**
* @author: ZhouJie
* @date: 2020年5月1日 上午12:13:23
* @param: @param n
* @param: @return
* @return: int
* @Description: TODO
*
*/
public int cuttingRope_1(int n) {
int mod = 1000000007;
if (n < 4) {
return n > 2 ? 2 : 1;
} else {
long rst = 1;
while (n > 4) {
rst = rst * 3 % mod;
n -= 3;
}
return (int) (rst * n % mod);
}
}
}