递归函数（一）：开篇
递归函数（二）：编写递归函数的思路和技巧
递归函数（三）：归纳原理
递归函数（四）：全函数与计算的可终止性
递归函数（五）：递归集与递归可枚举集
递归函数（六）：最多有多少个程序
递归函数（七）：不动点算子
递归函数（八）：偏序结构
递归函数（九）：最小不动点定理
回顾
上文中我们讨论了全函数和部分函数，以及计算的可终止性。
本文我们从数论函数开始，给原始递归函数集增加一种新的运算，得到了一个更大的集合。
然后根据递归函数，我们可以定义递归集和递归可枚举集，
为以后讨论可计算性与可判定性打好基础。
数论函数
自然数集一般记为N={0,1,2,⋯}N={0,1,2,⋯}，那么nn个自然数集的笛卡尔积记为NnNn，
于是，我们称集合NnNn到NN的部分函数为nn元部分数论函数。
作为数论函数，2x2x是一个全函数，而x/2x/2，x−yx−y，x√x只是部分函数，
它们的计算结果，3/23/2，4−64−6，5√5都不在NN中，于是相应定义域中的点可视为没有定义。
为什么讨论数论函数呢，其一是因为它是一个典型数学的问题，
另外一点，则是因为我们经常把其他数学问题转换成数论问题，例如，哥德尔编码。
本文中，使用数论函数，可以简化我们的描述方式。
一个谓词，指的是返回布尔值的函数，
我们还可以将谓词看做值域为{0,1}{0,1}的一个数论函数。
00代表True，11代表False。
极小化算子
在前一篇中，我们从三个初始函数出发，
通过合成运算和原始递归运算，得到了原始递归函数集，
递归函数集是相对于这两种运算封闭的。
然而，这样定义的原始递归函数，并不能包括所有的数论函数，
一个典型的例子就是，阿克曼函数，
ackermann :: Int -> Int -> Int
ackermann 0 x = x+1
ackermann k 0 = ackermann (k-1) 1
ackermann k x = ackermann (k-1) $ ackermann k x-1
它并不是一个原始递归函数，（证略
因此原始递归函数集并不足以表示计算机程序中的所有函数。
为此，我们需要对原始递归函数集进行扩充，我们定义一个新的运算，称为极小化运算，
设P(x1,⋯,xn,t)P(x1,⋯,xn,t)是一个谓词，令
f(x1,⋯,xn)=min P(x1,⋯,xn,t)f(x1,⋯,xn)=min P(x1,⋯,xn,t)
f(x1,⋯,xn)f(x1,⋯,xn)的值，或者是使P(x1,⋯,xn,t)P(x1,⋯,xn,t)为真的最小tt值，
或者无定义，此时不存在tt使得P(x1,⋯,xn,t)P(x1,⋯,xn,t)为真。
这样通过minmin得到f(x1,⋯,xn)f(x1,⋯,xn)的过程称为极小化运算，
也称部分函数f(x1,⋯,xn)f(x1,⋯,xn)是由谓词经过极小化运算得到的。
以上我们给谓词定义了极小化运算，现在我们将极小化运算推广到一般的函数上面，
设g(x1,⋯,xn,t)g(x1,⋯,xn,t)是一个n+1n+1元函数，令
f(x1,⋯,xn)=min{g(x1,⋯,xn,t)=0}f(x1,⋯,xn)=min{g(x1,⋯,xn,t)=0}
则称部分函数f(x1,⋯,xn)f(x1,⋯,xn)是由函数g(x1,⋯,xn,t)g(x1,⋯,xn,t)经过极小化运算得到的。
递归函数集
和定义原始递归函数集一样，我们从以下三个初始函数出发，
（1）零函数n(x)=0n(x)=0
（2）后继函数s(x)=x+1s(x)=x+1
（3）投影函数uni(x1,⋯,xn)=xiuin(x1,⋯,xn)=xi，i⩽i⩽ni⩽i⩽n
由初始函数，经过有限次合成运算，原始递归运算，以及极小化运算，得到的函数称为递归函数。
递归函数并不一定是全函数，因为极小化运算可能会导致结果函数在某些点无定义，
递归的部分函数称为部分递归函数。
可以证明阿克曼函数是递归函数，但不是原始递归函数，
因此，原始递归函数集是递归函数集的真子集。
递归可枚举集
在具体实践中，我们经常会遇到这样的问题，
给定一个元素，我们需要判断这个元素是否属于某个集合。
这种问题，称为集合的成员资格问题。
沿用这一思路，我们可以使用一个谓词χBχB来定义相应的集合B⊆NB⊆N，
B={x∈N|χB(x)}B={x∈N|χB(x)}
谓词χB(x)χB(x)为真，则x∈Bx∈B。
这个谓词χB(x)χB(x)，通常称为集合BB的特征函数。
如果特征函数χBχB是第一个递归的全函数，
则我们总是可以判断χB(x)χB(x)等于00还是11，
这样的集合BB称为递归集。
如果存在部分递归函数gg，使得B={x∈N|g(x)↓}B={x∈N|g(x)↓}，
即，x∈Bx∈B当且仅当gg在xx处有定义，
则称集合BB是一个递归可枚举集。
因此，对于每一个自然数x∈Nx∈N，
我们总是可以通过递归集BB的特征函数χBχB，来判断xx是否BB的成员。
而对于递归可枚举集，就不容乐观了，
如果某个自然数x∈Nx∈N是BB的成员，那么我们可以断定这件事，因为g(x)g(x)有定义，
但是如果某个自然数y∈Ny∈N不是BB的成员，我们就不能确定，因为这时候g(x)g(x)无定义。
（g(x)g(x)无定义，则它对应的图灵机不停机，后文我们详细讨论
因此，集合BB是递归的当且仅当BB和B¯B¯是递归可枚举的，
其中B¯B¯为BB的补集。