【BZOJ】3437: 小P的牧场

题意

n个点，需要再一些点建立控制站，如果在第(i)个建站，贡献为(a[i])。假设前一个站为(j<i)，则([j+1, i])的点的贡献是(sum_{k=j+1}^{i} (i-k) b[k])。同时要求第(n)个点建站。求最小贡献。（(n le 10^6)）

题解

设(d(i))表示前(i)个且在第(i)个牧场建控制站的最小贡献
则

[d(i) = min( d(j) + cost(j+1, i) ) + a[i] ]

则(ans = d(n))
设(cost(i, j))表示([i, j])由(j)控制的费用

$$ egin{align} cost(i, j) & = sum_{k=i}^{j} (j-k)b[k] \ & = j sum_{k=i}^{j} b[k] - sum_{k=i}^{j} kb[k] \ end{align} $$

令
(s_0(n) = sum_{i=1}^{n} b[i])
(s_1(n) = sum_{i=1}^{n} ib[i])
则

[cost(i, j) = j (s_0(j) - s_0(i-1)) - (s_1(j) - s_1(i-1)) ]

则

$$ egin{align} d(i) & = min( d(j) + i(s_0(i) - s_0(j)) - s_1(i) + s_1(j) ) \ & = min( d(j) + s_1(j) - is_0(j) ) + is_0(i) - s_1(i) + a[i] \ end{align} $$

设决策(j)比(k)优且(s_0(j) le s_0(k))

$$ egin{align} d(j) + s_1(j) - i s_0(j) & le d(k) + s_1(k) - i s_0(k) \ d(j) + s_1(j) - ( d(k) + s_1(k) ) & le i (s_0(j) - s_0(k)) \ frac{d(j) + s_1(j) - ( d(k) + s_1(k) )}{ s_0(j) - s_0(k)} & ge i \ end{align} $$

由于(i)递增，(s_0(i))随(i)递增而递增，因此我们用单调队列优化

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000005;
typedef long long ll;
int a[N], q[N];
ll s0[N], s1[N], d[N];
inline ll Y(int j, int k) {
	return d[j]+s1[j]-d[k]-s1[k];
}
inline ll X(int j, int k) {
	return (ll)s0[j]-s0[k];
}
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		scanf("%lld", &s0[i]);
		s1[i]=s0[i]*i;
		s0[i]+=s0[i-1];
		s1[i]+=s1[i-1];
	}
	int fr=0, ta=1;
	q[0]=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		while(ta-fr>=2 && Y(q[fr], q[fr+1])>(ll)i*X(q[fr], q[fr+1])) {
			++fr;
		}
		int j=q[fr];
		d[i]=d[j]+s1[j]-s0[j]*i+s0[i]*i-s1[i]+a[i];
		while(ta-fr>=2 && Y(q[ta-2], i)*X(q[ta-2], q[ta-1])<=Y(q[ta-2], q[ta-1])*X(q[ta-2], i)) {
			--ta;
		}
		q[ta++]=i;
	}
	printf("%lld
", d[n]);
	return 0;
}