题意
给出(n, m(1 le n, m le 10^{1000000}))，求(f(n, m) mod 10^9+7)
$$ egin{cases} f(1, 1) = 1 \ f(i, 1) = cf(i-1, m) + d \ f(i, j) = af(i, j-1) + b & (j eq 1) end{cases} $$
其中(1 le a, b, c, d le 10^9)
分析
对于递推式(f_i = af_{i-1} + b)
当(a=1)时通项为(f_n = f_1 + (n-1) b)
当(a
eq 1)时通项为(f_n = a^{n-1} f_1 + frac{b(a^{n-1} - 1)}{a-1})
那么根据上式可以求出对应的系数
[f(i, m) = xf(i, 1) + y
]
然后又得到
[f(i, 1) = c(xf(i-1, 1) + y)+d = cxf(i-1, 1) + cy + d
]
就可以推出(f(n, 1))，最后再逆推回(f(n, m))即可。
题解
快速幂部分，可以根据欧拉定理(a^{varphi(p)} equiv 1 pmod{p}, (a, p)=1)可以知道(a^{10^9+6} equiv 1 pmod{10^9+7})
所以我们可以在读入的时候就对(n, m)模(10^9+6)然后再快速幂。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=1e9+7;
int ipow(int a, int b) {
if(a>=mo) {
a%=mo;
}
int x=1;
for(; b; b>>=1, a=(ll)a*a%mo) {
if(b&1) {
x=(ll)x*a%mo;
}
}
return x;
}
void getint(int &n, int &nn) {
char c=getchar();
n=nn=0;
for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar());
for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) {
n=((ll)n*10+c-'0')%mo;
nn=((ll)nn*10+c-'0')%(mo-1);
}
}
int main() {
int n, m, nn, mm, a, b, c, d, ans;
getint(n, nn);
getint(m, mm);
scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
int k, j;
if(a==1) {
k=c;
j=((ll)c*(m-1+mo)%mo*b%mo+d)%mo;
}
else {
int p=ipow(a, mm-1+(mo-1));
k=(ll)c*p%mo;
j=((ll)b*c%mo*(1-p+mo)%mo*ipow(1-a+mo, mo-2)%mo+d)%mo;
}
if(k==1) {
ans=((ll)n*j%mo+1)%mo;
}
else {
int p=ipow(k, nn);
ans=((ll)j*ipow(1-k+mo, mo-2)%mo*(1-p+mo)%mo+p)%mo;
}
ans=(ans-d+mo)%mo;
ans=(ll)ans*ipow(c, mo-2)%mo;
printf("%d
", ans);
return 0;
}