小结：高斯消元

对于一组多项式方程（增广矩阵中，x[i, n+1]表示式子的值；x[i,j]表示第i个方程第j项的系数，在这里，增广矩阵可能不一定是n个，可能多可能少；opt表示运算规则）：

(x[1,1]*a[1]) opt (x[1,2]*a[2]) opt ... opt (x[1,n]*a[n])=x[1, n+1]

(x[2,1]*a[1]) opt (x[2,2]*a[2]) opt ... opt (x[2,n]*a[n])=x[2, n+1]

...

(x[n,1]*a[1]) opt (x[n,2]*a[2]) opt ... opt (x[n,n]*a[n])=x[n, n+1]

如果使用高斯消元，那么opt必须满足以下性质：

1. a opt b = b opt a

2. 对于x[i]*a[i]和x[j]*a[i]，存在一种方式能将x[i]或x[j]变成0（不一定是opt操作）

3. 对于a opt b = c存在一种方式使得a = c opt2 b，这里opt2表示一种操作（不一定是opt本身）

大概就这样吧。。。

消元：我们对于每个方程，假设为i，且x[i][now]不为0（now是当前被消元的变元，更一般的，只要能支持消掉后边方程的系数即可），然后对所有的j>i的方程，我们将所有x[j][now]不为0（或者需要消元的）用一种方式消掉。

回代：最后我们得到的是一个x[i][i]均不为0的方程（除非无解或此方程无意义）的倒三角矩阵。然后根据性质3将当前方程的其它j>i的a[j]和系数根据性质3转移到右式消去即可（此时a[j]一定是求出来的）

无解的情况：当存在一个矩阵使得左式=0而右式!=0（实数注意特判），那么无解。。

自由变元：自由变元就是当这些未知量一旦确定，整个方程就确定了。但是这些量是未知的。（例如x+y=5，自由变元就是1，因为无论是x还是y确定，另一个就能唯一确定），而答案要求的是方案，那么显然因为自由变元是可以随便赋值的，而如果这些值只有2个，开和不开，那么方案数就是2^自由变元。自由变元的求法很简单，具体解释看白书，其实就是仅当n个不同的方程（就是无论怎么通过其它方程都不会将这两个方程变成一样）才能确定n个解。那么我们如果只确定了x个方程，那么自由变元的数量就是n-x。（这个x可以轻易得到，因为在高斯消元过程中，会将所有不同的方程消元，因为消元会将相同的方程消成这个样子：0=0。所以就能得到x了。

例题：

【BZOJ】1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere（高斯消元）

最基本的高斯消元，题目已经保证有解。

【POJ】1222 EXTENDED LIGHTS OUT（高斯消元）

异或方程（mod 2方程），因为异或方程满足上边那3个性质，因此可以用高斯消元。只是要会建模，将每个点看做一个变元，值只有两个，0和1，表示不开和开。那么系数就表示是否被关联（即改变系数为1变元时，其它系数为1的变元均会改变），然后每个方程对应一个值，即这个变元最终的状态

【POJ】1830 开关问题（高斯消元）

异或方程，需要判断无解和求自由变元的数目。

【POJ】2947 Widget Factory（高斯消元）

mod k方程。因为mod意义下的方程同样满足上边的3个性质，因此可以考虑高斯消元。只不过在回代时要注意，因为是mod意义下的，即出现x[i][i]*a[i]=x[i][n+1] (mod k)的情况，所以我们要求出a[i]的话可以用拓展欧几里得，也可以直接一直加k求得。（要保证mod意义下有解）