• 数据结构与算法(十一)——串


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    1、串

    • 串(字符串):来自字母表的字符所构成的有限序列。

    • 一般来说,串长n远大于字母表中的字符数量。

    • 串相等:串长度相等,且对应位置上的字符相同。

    • 子串:substr(i,k),从s[i]开始的连续k个字符。

    • 前缀:prefix(k)=substr(0,k),即最靠前的k个字符。

    • 后缀:suffix(k)=substr(n-k,k),即最靠后的k个字符。

    • 空串长度为0,是任何串的子串、前缀、后缀。

    • 串的功能接口:

    2、串匹配

    • 一般将所要搜索的串称为模式P,搜索的对象称为文本T。

    • 模式匹配:

      • 从文字中匹配模式串。
      • 是否出现?
      • 首次在哪里出现?(主要问题)
      • 共有几次出现?
      • 各出现在哪里?
    • 如何评测串匹配算法的性能?

      • 成功:在T中,随机取出长度为m的子串作为P;分析平均复杂度。
      • 失败:采用随机的P;统计平均复杂度。
    • 蛮力匹配:

      • 自左向右,以字符为单位,依次移动模式串。直到在某个位置,发现匹配。

      • 版本1:

        int match ( char* P, char* T ) { //串匹配算法(Brute-force-1)
           size_t n = strlen ( T ), i = 0; //文本串长度、当前接受比对字符的位置
           size_t m = strlen ( P ), j = 0; //模式串长度、当前接受比对字符的位置
           while ( j < m && i < n ) //自左向右逐个比对字符
              {
              if ( T[i] == P[j] ) //若匹配
                 { i ++;  j ++; } //则转到下一对字符
              else //否则
                 { i -= j - 1; j = 0; } //文本串回退、模式串复位
              }
           return i - j; 
        }
        
    • 版本2:

        int match ( char* P, char* T ) { //串匹配算法(Brute-force-2)
           size_t n = strlen ( T ), i = 0; //文本串长度、与模式串首字符的对齐位置
           size_t m = strlen ( P ), j; //模式串长度、当前接受比对字符的位置
           for ( i = 0; i < n - m + 1; i++ ) { //文本串从第i个字符起,与
              for ( j = 0; j < m; j++ ) //模式串中对应的字符逐个比对
                 {
                 if ( T[i + j] != P[j] ) break; //若失配,模式串整体右移一个字符,再做一轮比对
                 }
              if ( j >= m ) break; //找到匹配子串
           }
           return i; 
        }
      
    • 唯一的区别就是版本1中i指向文本T中进行比较的位置,版本2中i指向模式T开始比较的位置。

    • 最坏情况下可达到O(m*n)。

    • 低效的原因在于,之前比对过的字符,将在模式T失陪进位后再次比较。

    • KMP算法:

      • 所要处理的,就是这种一部分前缀匹配,但是在某个位置不匹配。对于下图有T[i]!=P[j],而其前缀是匹配的。

      • 因为已经匹配的部分T[i-j,i)P[0,j)是完全相同的。所以,当X!=Y导致失配时,需要将P移动一段距离L,使得T[i-j+L,i)P[0,j-L)匹配。这种情况只与模式P有关,而且对于P中每个字符都只有一种移动的情况。

      • 构造查询表next[0,m),在任一位置P[j]失败后,将j替换为next[j]。即相当于P移动了j-next[j]

      • 实现:

        int match ( char* P, char* T ) {  //KMP算法
           int* next = buildNext ( P ); //构造next表
           int n = ( int ) strlen ( T ), i = 0; //文本串指针
           int m = ( int ) strlen ( P ), j = 0; //模式串指针
           while ( j < m  && i < n ) //自左向右逐个比对字符
              {
              if ( 0 > j || T[i] == P[j] ) //若匹配,或P已移出最左侧(两个判断的次序不可交换)
                 { i ++;  j ++; } //则转到下一字符
              else //否则
                 j = next[j]; //模式串右移(注意:文本串不用回退)
              }
           delete [] next; //释放next表
           return i - j;
        }
        
      • next表的作用是,借助必要条件(自匹配),排除不必要的对齐位置比较,实现快速右移。

      • 自匹配:当模式P与文本T,在P[j]处失配时,令t=next[j],进行快速右移。这样做的条件是,在P[j]的前缀P[0,j)中,t是其真前缀和真后缀匹配的最大长度,即存在最大的t使得P[0,t)=P[j-t,j)

      • next[0]=-1,是为了在首字符比对失败的情况下后移一位,对应于后移条件中的 0>j。-1的位置相当于是一个通配哨兵,可以与任何字符匹配。

      • 构造next表:

        • 递归的,对于next表中的第j+1项,如果P[j]P[next[j]]匹配(因为next[j]已计算出来,所以前缀部分必然匹配),则next[j+1]=1+next[j]。
        • 如果P[j]P[next[j]]不匹配,则需要尝试P[j]P[next[next[j]]]是否匹配,并可能继续递归。

      • 实现:

        int* buildNext ( char* P ) { //构造模式串P的next表
           size_t m = strlen ( P ), j = 0; //“主”串指针
           int* N = new int[m]; //next表
           int t = N[0] = -1; //模式串指针
           while ( j < m - 1 )
              if ( 0 > t || P[j] == P[t] ) { //匹配
                 j ++; t ++;
                 N[j] = t; 
              } else //失配
                 t = N[t];
           return N;
        }
        
      • 时间复杂度O(n),n为T的规模。

      • 再改进:

        • 对于已经失败的比对,用同样的字符再次进行相同的必定失败的比对,损失了效率。

        • 同样的字符比对必然失败,因此可以直接指向next[t]。

        • 实现:

          int* buildNext ( char* P ) { //构造模式串P的next表
             size_t m = strlen ( P ), j = 0; //“主”串指针
             int* N = new int[m]; //next表
             int t = N[0] = -1; //模式串指针
             while ( j < m - 1 )
                if ( 0 > t || P[j] == P[t] ) { //匹配
                   j ++; t ++;
                   N[j] = P[j]!=P[t]? t:N[t]; 
                } else //失配
                   t = N[t];
             return N;
          }
          
    • BM算法:

      • 不对称性:判断串相等和不等的代价是不同的。即使是对单个字符而言,匹配失败的概率也远高于成功的概率。
      • 在串匹配中,先对靠后的字符匹配可以获得更多的教训。这是因为如果靠后的字符匹配失败,可以排除较多的对齐位置。
      • 因此,在匹配时,应从模式P从后往前匹配。
    • 坏字符(bc):

      • 模式P从后往前比对时,第一个失配的字符。模式P中为Y,而文本T中为X。X就是坏字符。
      • 这意味着模式P需要右移直到其中的X与文本T中的X对齐。然后再从最右端开始比较。位移量取决于失配位置和X在P中的秩,可制表bc待查。
      • 如果模式P中的X在匹配位置的右侧,则模式P只向右移动一个位置。
      • 如果模式P中不包含X,则直接完全越过这个对齐位置。
      • 如果模式P中存在多个X,则先选择前缀中秩最大的。

      • 构造bc表:记录所有字符最后一次出现的位置。

      • 实现:

        int* buildBC ( char* P ) { //构造Bad Charactor Shift表:O(m + 256)
           int* bc = new int[256]; //BC表,与字符表等长
           for ( size_t j = 0; j < 256; j ++ ) bc[j] = -1; //初始化:首先假设所有字符均未在P中出现
           for ( size_t m = strlen ( P ), j = 0; j < m; j ++ ) //自左向右扫描模式串P
              bc[ P[j] ] = j; //将字符P[j]的BC项更新为j(单调递增)——画家算法
           return bc;
        }
        
      • 时间复杂度最好O(n/m),最坏O(n*m)。

    • 好后缀(gs):

      • 在模式P的后缀G完成与文本T中的子串S的匹配时,可以将完成匹配的部分看作经验。G就是好后缀。
      • 如果模式P还有一部分需要与子串S匹配,则P中与之匹配的部分必然与G完全相同。
      • 可以通过制表gs,当好后缀继续匹配失败时,移动模式P使得相同的字符与子串S对其。
    • 位移量根据bc表和gs表选择较大者。

    • 构造gs表:

      • MS[]子串:P[0,j]的所有后缀中,MS[j]是与P的某一后缀匹配的最长者。

      • ss[]表:ss[j]是MS[j]的长度。其中包含了gs表的所有信息。

      • 从ss[]表到gs[]表:

        • 如果s[j]=j+1,则对任一字符P[i](i<m-j-1),m-j-1必是gs[i]的一个候选。
        • 如果s[j]<=j,则对字符P[m-ss[j]-1],m-j-1必是gs[m-ss[j]-1]的一个候选。
        • 注意这里第一种情况是对在好后缀之前的任意的失配字符,而第二种情况只是对好后缀之前的哪一个失配字符。

    • 时间复杂度最好O(n/m),最坏O(n+m)。

    • KR算法:

      • 将字符串转化为整数,这样一次比较只需要O(1)的实现。
      • 对于一个字母表规模为d的字符串,都可以对应于一个d进制的自然数。
      • 但是这样所需的存储空间太大,可以通过散列的方法压缩。
      • 先比较散列码,散列冲突时,再进行串中字符的逐一匹配。
      • 子串的散列过程,可以根据相邻子串间的相似性,通过移位快速得到。

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