• 【LOJ】#2541. 「PKUWC2018」猎人杀


    题解

    一道神仙的题><

    我们毙掉一个人后总的w的和会减少,怎么看怎么像指数算法

    然而,我们可以容斥……
    (sum_{i = 1}^{n} w_{i} = Sum)
    我们把问题转化一下,就是一个猎人死掉之后,并不认为他死掉了,他还活着,只是毙掉他的时候,再毙一次

    很容易发现这是个正无穷的递归……但是……这是对的!
    例如下一个毙掉(i)的概率,死掉的人的w和是(B),则
    (P = frac{B}{A}P + frac{w_{i}}{A})
    我们当成一元一次方程解,很容易发现
    (P = frac{w_{i}}{A - B})
    很容易发现这个式子是对的

    然后我们选出来一堆人,设这些人w的和为(S)
    我们要求的是这些人在1号人以后毙掉的概率,剩下人随意

    (P = sum_{i = 0}^{+infty}(1 - frac{S + w_{1}}{A})^{i} frac{w_{1}}{A})
    就是我们从除了第一个人和S这些人里找人毙掉,反正我们可以反复毙掉一个人,最后再乘上第一个人被毙掉的概率

    这个式子可以写成这样
    (P = (1 - frac{S + w_{1}}{A})P + frac{w_{1}}{A})
    解出来
    (P = frac{w_{1}}{S + w_{1}})
    ……

    好吧
    然后我们显然容斥系数是(-1)的人数次幂,对于加入一个人,对系数的贡献是-1
    我们可以用S进行分类,可以背包求出每个S的系数

    然后发现这可以用生成函数进行优化(prod_{i = 2}^{n} (1 - x^{w_{i}}))
    很明显的分治NTT

    代码

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <queue>
    #include <cmath>
    #define enter putchar('
    ')
    #define space putchar(' ')
    #define mp make_pair
    #define pb push_back
    #define fi first
    #define se second
    #define pii pair<int,int>
    #define eps 1e-7
    #define MAXN 100005
    //#define ivorysi
    using namespace std;
    typedef long long int64;
    typedef double db;
    typedef vector<int> poly;
    
    template<class T>
    void read(T &res) {
    	res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    	while(c < '0' || c > '9') {
    		if(c == '-') f = -1;
    		c = getchar();
    	}
    	while(c >= '0' && c <= '9') {
    		res = res * 10 + c - '0';
    		c = getchar();
    	}
    	res *= f;
    }
    template<class T>
    void out(T x) {
    	if(x < 0) {putchar('-');x = -x;}
    	if(x >= 10) {
    		out(x / 10);
    	}
    	putchar('0' + x % 10);
    }
    
    const int MOD = 998244353,MAXL = 1 << 18;
    int W[MAXL + 5],N,val[MAXN],sum;
    poly ans;
    int mul(int a,int b) {
    	return 1LL * a * b % MOD;
    }
    int inc(int a,int b) {
    	return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
    }
    int fpow(int x,int c) {
    	int res = 1,t = x;
    	while(c) {
    		if(c & 1) res = mul(res,t);
    		t = mul(t,t);
    		c >>= 1;
    	}
    	return res;
    }
    void NTT(poly &f,int L,int on) {
    	f.resize(L);
    	for(int i = 1 ,j = L / 2 ; i < L - 1 ; ++i) {
    		if(i < j) swap(f[i],f[j]);
    		int k = L / 2;
    		while(j >= k) {
    			j -= k;
    			k >>= 1;
    		}
    		j += k;
    	}
    	for(int h = 2 ; h <= L ; h <<= 1) {
    		int wn = W[(MAXL + on * MAXL / h) % MAXL];
    		for(int k = 0 ; k < L ; k += h) {
    			int w = 1;
    			for(int j = k ; j < k + h / 2 ; ++j) {
    				int u = f[j],t = mul(f[j + h / 2],w);
    				f[j] = inc(u,t);
    				f[j + h / 2] = inc(u,MOD - t);
    				w = mul(w,wn); 
    			}
    		}
    	}
    	if(on == -1) {
    		int InvL = fpow(L,MOD - 2);
    		for(int i = 0 ; i < L ; ++i) f[i] = mul(f[i],InvL);
    	}
    }
    poly operator * (poly a,poly b) {
    	int t = a.size() + b.size();
    	int l = 1;
    	while(l <= t) l <<= 1;
    	NTT(a,l,1);NTT(b,l,1);
    	poly c;c.clear();c.resize(l);
    	for(int i = 0 ; i < l ; ++i) {
    		c[i] = mul(a[i],b[i]);
    	}
    	NTT(c,l,-1);
    	for(int i = l - 1 ; i >= 0 ; --i) {
    		if(c[i] == 0) c.pop_back();
    		else break;
    	}
    	return c;
    }
    void Init() {
    	srand(20020421);
    	W[0] = 1;W[1] = fpow(3,(MOD - 1) / MAXL);
    	for(int i = 2 ; i < MAXL ; ++i) W[i] = mul(W[i - 1],W[1]);
    	read(N);
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {read(val[i]);sum += val[i];}
    	random_shuffle(val + 2,val + N + 1);
    }
    poly Solve(int l,int r) {
    	if(l == r) {
    		poly g;
    		g.clear();
    		g.resize(val[l] + 1);
    		g[val[l]] = MOD - 1;g[0] = 1;
    		return g;
    	}
    	int mid = (l + r) >> 1;
    	return Solve(l,mid) * Solve(mid + 1,r);
    }
    int main() {
    #ifdef ivorysi
    	freopen("f1.in","r",stdin);
    #endif
    	Init();
    	if(N == 1) {
    		puts("1");
    		return 0;
    	}
    	ans = Solve(2,N);
    	int res = 0;
    	ans.resize(sum);
    	for(int i = 0 ; i <= sum ; ++i) {
    		res = inc(res,mul(ans[i],mul(val[1],fpow(val[1] + i,MOD - 2))));
    	}
    	out(res);enter;
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ivorysi/p/9218732.html
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