扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法
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用类似辗转相除法，求二元一次不定方程 ${ extstyle 47x+30y=1}$
- ${displaystyle 47=30 imes 1+17}$
- ${displaystyle 30=17 imes 1+13}$
- ${displaystyle 17=13 imes 1+4}$
- ${displaystyle 13=4 imes 3+1}$
然后把它们改写成“余数等于”的形式
- ${displaystyle 17=47 imes 1+30 imes (-1)}$
- ${displaystyle 13=30 imes 1+17 imes (-1)}$
- ${displaystyle 4=17 imes 1+13 imes (-1)}$
- ${displaystyle 1=13 imes 1+4 imes (-3)}$
然后把它们“倒回去”
- ${displaystyle 1=13 imes 1+4 imes (-3)}$
- ${displaystyle 1=13 imes 1+[17 imes 1+13 imes (-1)]*(-3)}$
- ${displaystyle 1=17 imes (-3)+13 imes 4}$
- ${displaystyle 1=17 imes (-3)+[30 imes 1+17 imes (-1)] imes 4}$
- ${displaystyle 1=30 imes 4+17 imes (-7)}$
- ${displaystyle 1=30 imes 4+[47 imes 1+30 imes (-1)] imes (-7)}$
- ${displaystyle 1=47 imes (-7)+30 imes 11}$
得解 ${displaystyle x=-7,y=11}$

这个过程可以用矩阵表示（其中q表示商，r表示余数）

$egin{pmatrix} a \ b end{pmatrix} = prod_{i=0}^{N} egin{pmatrix} q_{i} & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} r_{N-1} \ 0 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 47 \ 30 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}egin{pmatrix} 3 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 4 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 47 & 11 \ 30 & 7 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}1 \ 0 end{pmatrix}=egin{pmatrix} -7 & 11 \ 30 & -47 end{pmatrix} egin{pmatrix} 47 \ 30 end{pmatrix}$

或者用初等变换

${displaystyle {egin{pmatrix}47&30\1&0\0&1end{pmatrix}} ightarrow {egin{pmatrix}17&30\1&0\-1&1end{pmatrix}} ightarrow {egin{pmatrix}17&13\1&-1\-1&2end{pmatrix}} ightarrow {egin{pmatrix}4&13\2&-1\-3&2end{pmatrix}} ightarrow {egin{pmatrix}4&1\2&-7\-3&11end{pmatrix}}Rightarrow 1=47(-7)+30(11)}$
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