傅里叶变换

周期函数的傅里叶变换

傅里叶变换最开始需要从傅里叶级数开始讲起

• 傅里叶级数

  一个周期信号(f(t)), 周期为(T)， 角频率为 (w_0 = 2pi f_0 = frac{2pi}{T})，可以展开成如下形式:

  [egin{align*} 三角函数基的傅里叶展开： f(t) &= a_0 + a_1cos w_0 t + a_2cos 2w_0 t + a_3cos 3w_0 t + ... \ & hspace{1.2cm} + b_1sin w_0 t + b_2sin 2w_0 t + b_3sin 3w_0 t + ... \ &= a_0 + sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nw_0t+b_nsin nw_0t) end{align*} ]

从含义上理解，我们知道是用无限个缩放周期去拟合这个模拟函数，如下图：

但从数学上解释，仔细观察，就知道就可以体会到(f(t))在(cosnw_0 t)以及(sin nw_0t)做分解，之所以能这么分解是因为正余弦组成了一组正交基

介绍正交基之前要先知道函数的正交性： 高中知识告诉我们 一个二维空间的向量是由x, y轴的单位向量(vec{x}=(1,0), vec{y}=(0,1))构成，这俩个向量具有正交性，因为它们的内积(投影)为:(vec{x} · vec{y}= 1 * 0 + 0 * 1 = 0), 同样把正交扩展至函数，当函数的内积如果为0那么两个函数正交，比如说两个函数 (f(x) 和 g(x)), 那么$ int_{-infty}^{+infty}f(x)g(x)dx = 0$, 则它们正交，向量空间的内积是对应每一维相乘然后算总和，而函数可以微分化后看成无线维，所以函数的内积运算是积分

(cosnw_0 t)以及(sin nw_0t)实际上构成的正交函数，它们之中任意两个内积为0（很好证明），所以可以用他们来做基分量然后组合成(f(t))

[ {1, cos w_0x, sin w_0x, cos 2w_0x, sin 2w_0x, cos 3w_0x, sin 3w_0x, cos 4w_0x, sin 4w_0x ...} \ ]

由于这组正交函数所对应的定义域(x in[-infty, +infty]), 值域(f(x) in[-infty, +infty]), 所以可以进行线性组合为(f(t))，同时这组三角函数的角频率必为(w_0)倍数，很好理解，是因为需要同倍数周期的函数进行叠加， 而(a_n, b_n)可以理解成这些维度的系数，或者说(f(t))在这些维度上的投影，要想确定这些值实际上是一个投影的过程，将会在下面得到

• 复指数形式的傅里叶级数

为什么要引入这个复指数基，逻辑是这样子的，对于一个普通周期函数

[f(x) = kcos(x + θ) ]

如果单纯用余弦/正弦函数去表示的话，θ无法表示出来的, 因为相位θ的存在，正确的构造思路应该是从这个高中公式开始去入手构造，那么就有正余弦了：

[acosx + bsinx = sqrt{a^2 +b^2}sin(x + θ)\ θ=arctanfrac{b}{a} ]

所以需要搞一个sin和cos同时构成的基序列，使得相位θ存在，这是三角基傅里叶级数为什么既有正弦也有余弦的原因(虽然正弦和余弦是可以转换的)

而复指数傅里叶级数，则是说既然你同时要有(acos{x} + bsin{x})，但是两个东西我看着碍眼，我可以利用欧拉公式(e^{ix} = cos x + jsin x)一个去表示你这两个东西，只要把(e^{ix})系数构造好，那就可以(jsinx)转成(bsinx)，这就是它的思想。

所以我们更习惯使用下面这么一组复指数正交基去表示，其中(j)是虚数单位也就是我们常见的(i)

[ {e^{-jnw_0x}, ..., e^{-j3w_0x}, e^{-2jw_0x}, e^{-jw_0x}, e^{j0w_0x}, e^{jw_0x}, e^{j2w_0x}, e^{j3w_0x},...,e^{j4w_0x}} ]

这组正交基的定义域(x in[-infty, +infty]), 值域(f(x)) 除了是([-infty, +infty]), 同时还在一个复数空间上，所以用来表示一个实数空间的东西没有问题(三维变量表示二维变量，只需要把多出的维度消除掉即可)， 在这组正交基下，(f(t))可以在区间([-frac{T}{2}, frac{T}{2}])展开成如下形式:

[复指数基的傅里叶展开: f(t) = sum_{k = -infty}^{+infty}c_ke^{jkw_0t} ]

• 投影的计算

我们知道(c_k)相当于f(t)在各个分量上的系数，或者说f(t)在(e^{jnw_0t})上的投影，投影的计算方式在二维向量中内积已经做过计算:

[vec{x} · vec{y}= |vec{x}||vec{y}|·cos { heta} \ vec{x} 在 vec{y}上的投影为:|vec{x}| cos { heta} = frac{vec{x}·vec{y} }{ vec{y}} ]

所以在函数上也是一样的定义，内积的值/基分量，对于(C_k)的值如下:

[egin{align*} c_k &= frac{<f(t), e^{jkw_0t}>}{<e^{jkw_0t}, e^{jkw_0t}>} \ &= frac{int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-jkw_0t}dt}{int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}e^{jkw_0t}e^{-jkw_0t}dt}\ &= frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-jnw_0t}dt end{align*} ]

其中有两个细节，一是复数的乘法是乘以第二个乘数的共轭的，所以看到(e^{jkw_0t})变成了(e^{-jkw_0t}), 第二是关于被除数({<e^{jkw_0t}, e^{jkw_0t}>})的理解上，因为我们这里算的是以(e^{jkw_0t})为基的系数，所以除的是(e^{jkw_0t})的内基，而不是一个(e^{jkw_0t})

• 总结

  到这里其实就很明确了，一个周期为T的函数，可以由周期为nT(n= ..., -3, -2, -1, 0 1, 2, 3, ...)的正余弦周期函数组合构成，为了表示方便所以用复指数(e^{jkw_0t})方式去代替这些正余弦，而要求这些分量的系数，实际上就是求f(t)在这些基上投影，计算方式是(frac{f(t)与积分量的内积}{基分量与基分量的内积})， 所以往往能看到这东西(f(t)e^{-jnw_0t})， 它实际上就是:f(t)与积分量的内积

非周期函数的傅里叶变换

在上一节已经知道了，对于周期函数(f(t))在区间([-frac{T}{2}, frac{T}{2}]) 做傅里叶展开得

[hspace{4cm} f(t) = sum_{k = -infty}^{+infty}c_ke^{ikw_0t} hspace{4cm}(2.1)\ c_n = frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-jkw_0t}dt ]

对于非周期函数，可以认为(T→infty)，此时(w_0 = frac{2pi}{T} →) 0, 所以微分化后，可以认为是(w=kw_0, w_0 = Delta w), 此时

[c_n = frac{Delta w}{2pi} int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-jwt}dt ]

将(c_n)代入2.1得

[f(t) = frac{1}{2pi} sum_{k = -infty}^{+infty} (int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-jwt}dt) e^{jkw_0t}Delta w ]

由于(Delta w,T→infty)，

[f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty} (int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-jwt}dt) e^{jkwt}dw \ 记： F(w) = int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-jwt}dt hspace{2cm}(傅里叶变换)\ 则: f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty} F(w) e^{jwt}dw hspace{2cm}(傅里叶逆变换) ]

(F(w))描述的就是(f(t)在e^{-jwt}分量处的系数 · 2pi(因为2pi被提出去了)), 是函数与在该正交分量相关性，通过(f(t))得到F(w)的过程也被称之为傅里叶变换，(F(w))又被称之为f(t)的频谱密度， 而对于原来的周期函数(C_n)，因为其分量的频率不是连续的，所以将(c_n)称为频谱(与概率分布函数和概率密度函数的概念一致)

离散时间傅里叶变换

对于一个周期函数(x(n))， 我们知道其傅里叶变换，但是如果对其进行采样后，它的频率的求解该怎么做呢？

它的公式如下：

[离散时间傅里叶级数: ilde{X}(k) = sum_{n = 0}^{N -1} ilde{x}(k) e^{-jkfrac{2pi}{N}n} \ 离散时间傅里叶级数逆变换: ilde{x}(k) = frac{1}{N} sum_{k=0}^{N-1} ilde{X}(k) e^{jkfrac{2pi}{N}n} ]

离散时间傅里叶级数的公式很好理解，和傅里叶级数一样，就是计算投影的过程，但是现在函数点变成了取样点了( ilde{x}(k)) 其它点都没有都是0，所以不用放过来； 然后基分量(e^{-jkfrac{2pi}{N}n})和过去的(e^{-jtw_0n}) 发生了形式上符号上发生了一点变化，但本质没有区别，右上角的构成仍然是虚数 · 自变量 · 角频率· 扩充倍数，唯一有变化的是角频率这个地方，其它都是一样的，角频率在这里被定义成了(frac{2pi}{N}), 而且N还是一个变量，表示的是取样点的数量，角频率(w_0)必须要和原函数保持一直，在这里取了(N)个点，它们可能如上图属于多个周期里面，也可能都在一个周期里面，那么这个时候角频率的范围就在([frac{2pi}{N}, 2pi])，所以就将角频率对在了最小的(frac{2pi}{N})