算法导论数论求解模线性方程

1. ax=b(modn)

   设<a>是模n加法群中的循环子群，即<a>={}={axmodn}，所以有一个解当且仅当b属于<a>，而|<a>|必定是n的约数

2. 对任意正整数a,n，若d=gcd(a,n),在中

   <a>=<d>={0,d,2d,3d…(n/d-1)d}所以|<a>|=n/d;

   证明：(1)<d>属于<a>

               ax+ny=d,ax=d(modn),d的倍数属于a

            (2)<a>属于<d>

           设m属于<a>

               ax=m(modn),ax+ny=m,d|ax+ny,d|m,m属于<d>

3. ax=b(modn)有解，当且仅当gcd(a,n)|b
4. ax=b(modn)或者无解，或者对模n有d=gcd(a,b)个不同的解

   证明有d个不同的解：

           若在<a>中有一个解，则，由于|<a>|=n/d,所以重复d次

5. 设d=gcd(a,n)，d=ax`+ny`，若d|b,则方程ax=b(modn)的一个解x0满足

   x0=x`(b/d)(modn)

   证明：ax0=ax`(b/d)(modn)

        ax0=d(b/d)(modn)

6. 方程ax=b(modn)有解（即d|b，其中d=gcd(a,n)）x0是方程任意一个解，方程有d个不同的解，分别为xi=x0+i(n/d)        (i=1,2,…,d-1)

   证明：

           axi(modn)=a(x0+i(n/d))(modn)

                    =ax0(modn)=b(modn)

7. MODULAR-LINEAR-EQUATION-SOLVER(a,b,n)

   {

           (d,x`,y`)=EXTEND-EUCLID(a,n)

           if(d|b)

           {

               x0=x`(b/d)(modn)

               for(i=0 to i-1)

               print x0+i(n/d)(modn)

   }

   else

       print "no solution"

   }

   时间复杂度 lg(b)

8. n>1,gcd(a,n)=1,则ax=b(modn)有唯一解
9. n>1,gcd(a,n)=1,则ax=1(modn)有唯一解，否则方程无解