转自:https://blog.csdn.net/snailset/article/details/26752435 代码略有改动
问题描述
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后,小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义:将所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数,行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后,他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是,他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明,只需要对所有硬币再进行一次Q操作,即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒,不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
随后,小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义:将所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数,行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后,他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是,他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明,只需要对所有硬币再进行一次Q操作,即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒,不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
输入数据包含一行,两个正整数 n m,含义见题目描述。
输出格式
输出一个正整数,表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
对于10%的数据,n、m <= 10^3;
对于20%的数据,n、m <= 10^7;
对于40%的数据,n、m <= 10^15;
对于10%的数据,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。
对于20%的数据,n、m <= 10^7;
对于40%的数据,n、m <= 10^15;
对于10%的数据,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。
基本思路:
这种方法很麻烦,小数据还能应付,像题目中要求有1000位数,根本不可能,所以有必要另避蹊径。从简单到复杂,慢慢分析,看有什么规律:
先看 n = 1 的情况:对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1, 每次第一行都要参与翻转,当 y 能整除 m 的时候,(1 , m)会翻转,(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数,1 的约数个数为1 , 3 的约数个数为2, 5 的约数个数为2, 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数,否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现,而一个数的平方数,有两个约数相等。
所以,最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0,其他则为1。
而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。
再来看一般情况:(n , m)最后状态是什么?现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出,当m确定后,他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了,只有在(n , m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数,所以n ,m的约数个数必须为奇数,即: n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且 m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。
最后得出结论:
对于n行m列矩阵,经过 Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。
终于是找到了公式,可是又有了新的难题,怎么对1000位数开方呢?这里先给出定理:
假设位数为len的整数,开方取整后为一个lenSqrt位数。
当len为偶数,lenSqrt = len / 2 .
当len为奇数,lenSqrt = (len / 2) + 1 .
证明很简单,这里就不证了。
现在就简单了,位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如:sqrt(1028) ,表示对1028开方取整
它开方取整后两位数.先看第一位:
取 0, 00 * 00 < 1028 所以sqrt(1028) > 00
取 1, 10 * 10 < 1028 所以sqrt(1028) > 10
取 2, 20 * 20 < 1028 所以sqrt(1028) > 20
取 3, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 4, 40 * 40 > 1028 所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。
第二位:
取 0, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31
取 2, 32 * 32 < 1028 所以sqrt(1028) > 32
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
大数是一样的道理,只不过大数用字符串保存,字符串相乘也要自己来实现。
代码如下:
#include<iostream> #include<string> using namespace std; string strMul(string str1,string str2){ int len1=str1.length(); int len2=str2.length(); int num[500]={0}; string ans=""; for(int i=0;i<len1;i++){ for(int j=0;j<len2;j++){ num[len1-1-i+len2-1-j]+=(str1[i]-'0')*(str2[j]-'0'); } } for(int i=0;i<len1+len2-1;i++){ num[i+1]+=num[i]/10; num[i]%=10; } int k=len1+len2-1; for(;k>=0;k--){ if(num[k]!=0){ break; } } for(;k>=0;k--){ ans+=(num[k]+'0'); } return ans; } int compare(string str1,string str2,int pos){ int len1=str1.length(); int len2=str2.length(); if(len1+pos>len2){ return 1; }else if(len1+pos<len2){ return 0; }else{ for(int i=0;i<len1;i++){ if(str1[i]<str2[i]){ return 0; }else if(str1[i]>str2[i]){ return 1; } } return 0; } } string strSqrt(string s){ int len=s.length(); if(len&1){ len=len/2+1; }else{ len/=2; } string ans=""; string tmp=""; for(int i=0;i<len;i++){ for(int j=0;j<10;j++){ tmp=ans; tmp+=(j+'0'); if(compare(strMul(tmp,tmp),s,2*(len-1-i))==1){ ans+=(j-1+'0'); break; }else if(j==9){ ans+=(j+'0'); } } } return ans; } int main(){ string n,m; cin>>n>>m; cout<<strMul(strSqrt(n),strSqrt(m))<<endl; return 0; }