最大子数组，Maximum Subarray| Best Time to Buy and Sell Stock, LeetCode题解（三）

Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

在一个数组里找一个连续的子数组，要求这个子数组的和最大。返回最大值。

这个问题必须用动态规划以及分治的思想来解。

先看最简单的问题：
(1). 假如数组长度只有1，从下标0开始，也就是数组为[-2], 那么此时最大子数组的和就是-2.
(2). 假如数组长度为2时,[-2, 1],要求这个数组的最大子数组，很明显最大子数组和是1，因为-2+1=-1, 算上前面的数，最终和是减小的，所以还不如舍弃上一步求出的-2，只取当前下标下的数字。

把上面两步做个推广：
(1). 怎么才能减小问题规模？肯定要通过递归。假如输入一个数组nums，起始位置0，终止位置len(nums)-1。那么每次调用都把数组长度减1，最后减到0，输入就是长度为1的数组，这个问题是有解的。
(2). 比较子问题，借助上一步求出来的，和当前问题进行比较，选出一个最大的。

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        max_val = {"val": nums[0]}
        def inner_loop(nums, i, j, max_val):
            if i == j:
                return nums[i]
            tmp = max(nums[j], inner_loop(nums, i, j - 1, max_val) + nums[j])
            if tmp > max_val['val']:
                max_val['val'] = tmp
            return tmp
        inner_loop(nums, 0, len(nums) - 1, max_val)
        return max_val['val']

递归的思路，inner_loop(nums, i, j - 1, max_val) 这一步不断减少数组截止位置的下标。最后就能得到长度为1的数组的最大子数组。然后一步一步把后面的数字加进这个数组，长度为1时，为2时，为3时.......

这个问题不用递归更好，直接正向循环即可。

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buy and sell at best price.

Example 1:

Input: [7,1,5,3,6,4]
Output: 5
Explanation: Buy on day 2 (price = 1) and sell on day 5 (price = 6), profit = 6-1 = 5.
             Not 7-1 = 6, as selling price needs to be larger than buying price.

Example 2:

Input: [7,6,4,3,1]
Output: 0
Explanation: In this case, no transaction is done, i.e. max profit = 0.

class Solution(object):
    def maxProfit(self, prices):
        """
        :type prices: List[int]
        :rtype: int
        """
        min_price = float('inf')
        max_profit = 0
        for i in range(0, len(prices)):
            if prices[i] < min_price:
                min_price = prices[i]
            if (prices[i] - min_price) > max_profit:
                max_profit = prices[i] - min_price
        return max_profit
       
                    
    def naiveMaxProfit(self, prices):
        """
        :type prices: List[int]
        :rtype: int
        """
        max_profit = 0
        for i in range(0, len(prices)):
            for j in range(i, len(prices)):
                profit = prices[j]-prices[i] 
                if profit > 0:
                    if profit > max_profit:
                        max_profit = profit
        return max_profit