【题解】 CF750E New Year and Old Subsequence 动态dp

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给定长度为 \(n\ (4 \le n \le 200\ 000)\) 的数字串，\(q\ (1 \le q \le 200\ 000)\) 次询问，每次询问一个连续子串 \([l,r]\)，询问：

• 使得这个连续子串内不存在子序列 \(2016\) 并存在子序列 \(2017\) 至少要删去多少个数位。

Editorial

考虑暴力怎么做，有个很显然的在 \(\textrm{trie}\) 上 \(\textrm{dp}\) 的做法（这个 \(\textrm{trie}\) 的大小只有 \(5\)），即记录走到某个节点的最少删除次数。

那么你只需要把这个 \(\textrm{dp}\) 用矩阵转移优化一下就好了。

\[\begin{bmatrix} [s_i = 2] & \infty & \infty & \infty & \infty \\ [s_i \not= 2]\infty & [s_i = 0] & \infty & \infty & \infty \\ \infty & [s_i \not= 0]\infty & [s_i=1] &\infty & \infty \\ \infty & \infty & [s_i\not = 1]\infty & [s_i=6\or s_i=7] & \infty \\ \infty & \infty & \infty & [s_i \not= 7]\infty & [s_i=6] \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} ST \\ a_2 \\ a_0 \\ a_1 \\ a_7 \\ \end{bmatrix} = \]

Code

注意矩阵的相乘顺序，所以线段树里维护的因当是从区间右侧乘到左侧的矩阵。但查询的时候依然是从左子树到右子树。

注意到右侧乘的是一个向量，所以在查询的时候可以省一些常数，由于我太懒，没有去实现。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int INF = 1e9;
const int MX = 2e5 + 233;

int read(){
	char k = getchar(); int x = 0;
	while(k < '0' || k > '9') k = getchar();
	while(k >= '0' && k <= '9')
		x = x * 10 + k - '0' ,k = getchar();	
	return x;
}

struct Matrix{
	int A[5][5];
	Matrix(){memset(A ,0x3f ,sizeof A);}
	Matrix(int num){
		memset(A ,0x3f ,sizeof A);
		A[0][0] = (num == 2);
		A[1][0] = (num != 2) * INF;
		A[1][1] = (num == 0);
		A[2][1] = (num != 0) * INF;
		A[2][2] = (num == 1);
		A[3][2] = (num != 1) * INF;
		A[3][3] = (num == 6 || num == 7);
		A[4][3] = (num != 7) * INF;
		A[4][4] = (num == 6);
	}
	Matrix operator *(const Matrix &B)const{
		Matrix C;
		for(int i = 0 ; i < 5 ; ++i)
			for(int j = 0 ; j < 5 ; ++j)
				for(int k = 0 ; k < 5 ; ++k)
					C.A[i][j] = min(C.A[i][j] ,A[i][k] + B.A[k][j]);
		return C;
	}
	void output(){
		for(int i = 0 ; i < 5 ; ++i)
			for(int j = 0 ; j < 5 ; ++j)
				printf("%d%c" ,A[i][j] ," \n"[j == 4]);
		puts("||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||");
	}
};

struct node{
	int l ,r;
	Matrix s;
	node *lch ,*rch;
	node(int _l ,int _r ,int num ,node *L ,node *R){
		s = Matrix(num);
		l = _l ,r = _r;
		lch = L ,rch = R;
	}
	void pushup(){s = rch->s * lch->s;}
}*root;

node *build(int l ,int r ,int *A){
	node *x = nullptr;
	if(l == r) x = new node(l ,r ,A[l] ,nullptr ,nullptr);
	else{int mid = (l + r) >> 1;
		node *lch = build(l ,mid, A);
		node *rch = build(mid + 1 ,r ,A);
		x = new node(l ,r ,-1 ,lch ,rch);
		x->pushup();
	}return x;
}

void query(node *x ,int l ,int r ,Matrix &Ans){
	if(l <= x->l && x->r <= r) return Ans = x->s * Ans ,void();
	if(l <= x->lch->r) query(x->lch ,l ,r ,Ans);
	if(r > x->lch->r) query(x->rch ,l ,r ,Ans);
}

char str[MX];
int A[MX];
int main(){
	int n = read() ,q = read();
	cin >> (str + 1);
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
		A[i] = str[i] - '0';
		// printf("%d\n" ,A[i]);
	}
	root = build(1 ,n ,A);
	while(q--){
		int l = read() ,r = read();
		Matrix Ans = Matrix();
		Ans.A[0][4] = 0;
		query(root ,l ,r ,Ans);
		// Ans.output();
		printf("%d\n" ,Ans.A[4][4] > n ? -1 : Ans.A[4][4]);
	}
	return 0;
}