洛谷P3177 [HAOI2015]树上染色（树形dp）

 

题目描述

有一棵点数为 N 的树，树边有边权。给你一个在 0~ N 之内的正整数 K ，你要在这棵树中选择 K个点，将其染成黑色，并将其他 的N-K个点染成白色 。 将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间的距离的和的受益。问受益最大值是多少。

输入格式

第一行包含两个整数 N, K 。接下来 N-1 行每行三个正整数 fr, to, dis ， 表示该树中存在一条长度为 dis 的边 (fr, to) 。输入保证所有点之间是联通的。

输出格式

输出一个正整数，表示收益的最大值。

in：

3 1
1 2 1
1 3 2

out:

3

分析，这是一道树形dp思想的好题，通俗点讲，本题给你一颗加权树，有黑白两种点，求使得相同颜色的点之间的距离和的最大值。因此，我们选择用dp[now][x]来表示在now分支上选择x个黑点对答案的贡献是

多少，对于状态转移，我们可以看出对于最大值的子结构来书就是每一条分支上的权值*黑点和白点的总数

dp[now][x] = max(dp[now][x], dp[now][x-y] + dp[v][y] + var);

var则是在每一次dfs中新产生的贡献

                    long long var = 1ll * e[i].w * y * (k - y) + 1ll * e[i].w * (size[v] - y) * (n - k - size[v] + y);

有了转移方程，我们还需要特判掉一些特殊情况。比如说我们枚举在当前的子节点的子树中，我们枚举它里面有x个黑点，那么我们需要一个在其他子树中选了共 n - x个黑点的状态，但是如果其他的子树的大小总和还不到 n-x 的话，那么这个状态显然是不合法的，所以我们要去除这种情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define re register int
typedef long long ll;
using namespace std;
int head[2005<<1],cnt;
int n,k;
ll dp[2005<<1][2005<<1];
int size[2005<<1];
struct node
{
    int to;
    int next;
    int w;
} e[2005<<1];
void add(int x,int y,int w)
{
    e[++cnt].to=y;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void dfs(int now,int fa)
{
    size[now]=1;
    dp[now][0]=dp[now][1]=0;
    for(re i=head[now]; i; i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa)
            continue;//因为链式向前星加了双向边，防止死循环
        else
            dfs(v,now);
        size[now]+=size[v];
        for(re x=min(k,size[now]); x>=0; x--)//还能提供的黑点数
            for(re y=0; y<=min(x,size[v]); y++)//因x限制所以取最小值
            {
                if(dp[now][x-y]==-1)//特判
                    continue;
                else
                {
                    long long var = 1ll * e[i].w * y * (k - y) + 1ll * e[i].w * (size[v] - y) * (n - k - size[v] + y);
                    dp[now][x] = max(dp[now][x], dp[now][x-y] + dp[v][y] + var);
                }
            }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1; i<=n-1; i++)
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dfs(1,0);
    cout<<dp[1][k]<<endl;
    return 0;
}