【欧拉函数】BZOJ2190-[SDOI2012]longge的数学问题

【题目大意】

求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

【思路】

对于x=ak,y=bk,若gcd(a,b)=1则必有gcd(x,y)=1。枚举N的所有因数，∑gcd(i, N)=∑(φ(N/k)*k)（k|N）。

*N的因数与必须在n^(1/2)时间内求出，否则会TLE。

【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
/*注意数据范围*/
const int MAXN=10010;
ll n;
ll factor[MAXN];
 
void get_factor()
/*必须在n^(1/2)时间以内求出所有的质因数，否则会TE*/
{
    memset(factor,0,sizeof(factor));
    ll i;
    for (i=1;i*i<n;i++)
    {
        if (n%i==0)
        {
            factor[++factor[0]]=i;
            factor[++factor[0]]=n/i;
        }
    }
    if (i*i==n) factor[++factor[0]]=i;
}
 
ll eular(ll k)
{
    ll res=k;
    for (ll p=2;p*p<=k;p++)
    {
        if (k%p==0)
        {
            res=res-res/p;
            while (k%p==0) k/=p;
        }
    }
    if (k>1) res=res-res/k;
    /*主意k可能大于0，必须要再减去*/
    return res;
}
 
void init()
{
    scanf("%d",&n);
}
 
ll get_ans()
{
    ll result=0;
    for (ll i=1;i<=factor[0];i++)
        result+=eular(n/factor[i])*factor[i];
    return result;
}
 
int main()
{
    init();
    get_factor();
    cout<<get_ans()<<endl;
    return 0;
}