看了vfk的反演魔术，跪着膜。在这里稍微总fan结yi一下，总结得更精干一点。（就是总结各种反演及证明，然后总结到自己也看不懂。
二项式反演 ：
$f(x) = sumlimits_{i = 0}^{n} inom{n}{i} g(i)$ ===>> $g(i)=sum_{i = 0}^{n} (-1)^{n - i} f(i)$
对于组合数我们有 $sumlimits_{i = 0}^{n} (-1)^{i} inom{n}{i} = left [ n==0 ight ]$
然后有一句废话 $g(n) = sumlimits_{i = 0}^{n} left [ n - i == 0 ight ] inom{n}{i} g(i)$
把上式代入有 $g(n) = sumlimits_{i = 0}^{n} sumlimits_{j = 0}^{n - i} (-1)^{j} inom{n - i}{j} inom{n}{i} g(i)$
我们发现 $inom{n - i}{j} inom{n}{i} = inom{n-j}{i} inom{n}{j}$ 的
所以有 $g(n) = sumlimits_{i = 0}^{n} sumlimits_{j = 0}^{n - i} (-1)^{j} inom{n}{j} inom{n-j}{i} g(i)$
然后可以交换 $sum$ 符号 得到 $g(n) = sumlimits_{j = 0}^{n} (-1)^{j} inom{n}{j} sumlimits_{i = 0}^{n - j} inom{n - j}{i} g(i)$
注意最右边的那个小朋友！其实就是 $f(n - j) $！
然后把下标整理一下，我们就得到了二项式反演的公式，也就是我们一开始给出的那个公式。
莫比乌斯反演 ：
$f(x) =sumlimits_{d|x} g(d) ===>> g(x) =sumlimits_{d|x} mu (d) f(frac{x}{d})$
对于$mu$ 函数我们有$sumlimits_{d|n} mu (d) = left [ n==1 ight ]$
那么效仿之前的方式，$g(n) = sumlimits_{d|n} left [ frac{n}{d} == 1 ight ] g(d)$
我们替换方括号内部分 $g(n) = sumlimits_{d|n} sumlimits_{k|frac{n}{d}} mu (k) g(d)$
$d|n$ 与$ k|frac{n}{d}$ 实际上是枚举所有$c|n$且c=dk，所以等价于先枚举$k|n$，再枚举$k|frac{n}{k}$。
交换求和顺序就有$g(n) = sumlimits_{k|n} mu (k) sumlimits_{d|frac{n}{k}} g(d)$
右边就是$f(frac{n}{k})$
其实反演本质都是容斥原理