• manacher 学习笔记


    部分内容转自:https://www.cnblogs.com/xiaoningmeng/p/5861154.html

     

    因为刚开始学,所以有些可能讲解的不是特别好。

        manacher算法(民间称马拉车算法233)是用来找字符串中的最长回文子串的,先来说一下什么是回文串,像这样“abcba”这样一个字符串找到一个中间位置,然后分别向他的左边和右边相等的距离位置的字符是相同的,那么这个字符串就称为回文串,“abcba”这个字符串的len为5是奇数,我们可以找到一个中间字符,然后进行搜索也可以找出来(当然时间复杂度是比较高的),但是当我们遇到一个长度为偶数的字符串时该怎么找中间字符呢,像这样“abccba”,下面我们引入Manacher算法,这是一个可以将长度为奇数或偶数的字符串一起考虑的神奇算法

        Manacher算法可以将长度为奇数和偶数的回文串一起考虑:在原字符串的相邻字符串之间插入一个分隔符,字符串的首尾也要分别添加,注意分隔符必须是原字符串中没有出现过的

    原字符串s a b a b c
    转换后字符串str # a # b # a # b # c #

     

    一、Len数组的简单介绍

        Manacher算法中用到一个非常重要的辅助数组Len[i]表示以str[i]为中心的最长回文子串的最右端到str[i]位置的长度,比如以str[i]为中心的最长回文串是str[l,r],那么Len[i]=r-i+1

    转换后的字符串str # a # b # a # b # c #
    Len 1 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1

     

        Len[i]数组有一个性质,Len[i]-1就等于该回文串在原串s中的长度

        证明:在转换后的字符串str中,所有的回文串的长度都是奇数,那么对于以str[i]为中心的最长回文串的长度为2*Len[i]-1,其中又有Len[i]个分隔符,所以在原字符串中的长度就是Len[i]-1,那么剩下的工作就是求Len数组

    二、Len数组的计算

        从左往右开始计算,假设0<=j<=i,那么在计算Len[i]时,Len[j]已经计算过了,设mx为之前计算过的最长回文串的右端点,id为取得这个端点值得位置(那么Len[id]=mx-id+1)

    第一种情况:i<=mx.

        找到i相对于id的对称位置,设为j,再次分为两种情况:

            1、Len[j]<mx-i

            

           mx的对称点为2*id-mx,i和j所包含的范围是2*Len[j]-1

            那么说明以j为中心的回文串一定在以id为中心的回文串内部,且i和j关于id对称,由回文串的定义可知,一个回文串反过来仍是回文串,所以以i为中心的回文串长度至少和以i为中心的回文串长度相等,即Len[i]>=Len[j].因为Len[j]<mx-i所以i+Len[j]<mx,由对称性可知Len[i]=Len[j].

            2、Len[j]>=mx-i

            由对称性说明以i为中心的回文串可能延伸到mx之外,而大于mx的部分我们还没有进行匹配,所以要从mx+1位置开始一个一个匹配直到失配,从而更新mx和对应的id以及Len[i]

    第二种情况,i>mx

            如果i比mx还大,说明对于中点为i的回文串一点都没匹配,这个时候只能一个个匹配(滑稽),匹配完成后更新mx的位置和对应的id及Len[i].

    下面推荐一道模板题:luogu P3805 【模板】manacher

    
    
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N = 11000001;
    char s[N*2],str[N*2];
    int len[N*2],lenn;
    void getstr()
    {
        int k=0;
        str[k++]='$';
        for(int i=0;i<lenn;i++)
            str[k++]='#',str[k++]=s[i];
        str[k++]='#';
        lenn=k;
    }
    void manacher()
    {
        getstr();
        int mx=0,id;
        for(int i=1;i<lenn;i++)
        {
            if(mx>i)len[i]=min(len[2*id-i],mx-i);
            else len[i]=1;
            while(str[i+len[i]]==str[i-len[i]])    len[i]++;
            if(len[i]+i>mx)
                mx=len[i]+i,id=i;
        }
    }
    int main()
    {
        cin >> s;
        lenn=strlen(s);
        manacher();
        int ans=1;
        for(int i=1;i<lenn;i++)
            ans=max(ans,len[i]);
        cout<<ans-1;
    }
    
    
    
     

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ifmyt/p/9334640.html
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