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关于傅里叶级数的推导详见：
我们先把傅里叶级数转换为指数形式：
三角函数形式：
代入欧拉公式：
可以变形为：
将 、
代入傅里叶级数求得：
将(2)、(3)、(4)代入得：
同理可得：
将两式代入到(5)中解得：
(注意当 时：
)
令 公式(6)简化为：
公式（6）为傅里叶级数的指数形式
极限求得傅里叶变换
频率的定义：在一定时间 内，一个函数完成周期的次数的倒数。
即： (T为原函数的周期)
比如 ，我们令
则函数完成的周期数为 0.5，频率为2。而如果令
则周期为1，频率为1。
而傅里叶变换很有趣，定义： ,此时欧拉公式
频率为
。
然后我们来仔细研究下公式(6)
提取 由傅里叶变换的周期定义中有
（记住因为n为正整数所以积分不是致密的，比如分母是个无限不循环小数。所以一定是黎曼不可积，但是却是勒贝格可积，因为点数是可数的），于是这个公式就变成了微积分公式的累加形式，我们设
则在
中因为变量
已经被积分掉，所以唯一的变量是
，令
有：
我们得到傅里叶变换：
然后根据(8)我们得到反傅里叶变换
公式(9)、(8)为著名的傅里叶变换、反傅里叶变换
下一次开讲：离散傅里叶变化以及优化算法FFT