基于Caffe的Large Margin Softmax Loss的实现（中）

小喵的唠叨话：前一篇博客，我们做完了L-Softmax的准备工作。而这一章，我们开始进行前馈的研究。

小喵博客: http://miaoerduo.com

博客原文:  http://www.miaoerduo.com/deep-learning/基于caffe的large-margin-softmax-loss的实现（中）.html

四、前馈

还记得上一篇博客，小喵给出的三个公式吗？不记得也没关系。

这次，我们要一点一点的通过代码来实现这些公式。小喵主要是GPU上实现前后馈的代码，因为这个层只是用来训练，GPU速度应该会快一点。

我们首先要进行一般的FC层的前馈，因为LM_FC的前馈只是修改了一般的FC中的若干个值，而大部分的值都是没有修改过的。

const Dtype* bottom_data = bottom[0]->gpu_data();
const Dtype* label_data = bottom[1]->gpu_data();
Dtype* top_data = top[0]->mutable_gpu_data();
const Dtype* weight = this->blobs_[0]->gpu_data();
// 普通fc层的计算
if (M_ == 1) {
  caffe_gpu_gemv<Dtype>(CblasNoTrans, N_, K_, (Dtype)1.,
                       weight, bottom_data, (Dtype)0., top_data);
} else {
  caffe_gpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans,
                        transpose_ ? CblasNoTrans : CblasTrans,
                        M_, N_, K_, (Dtype)1.,
                        bottom_data, weight, (Dtype)0., top_data);
}

这样就计算完了一个普通的FC的前馈。

之后是一些具体的实现。

1，$cos( heta_j)=frac{W_j^Tx_i}{|W_j||x_i|}$

这是要求出label为$j$的weight的权值和feature之间的余弦值。公式大家在高中应该就学过了。这样需要出三部分：$W_j^Tx_i$，$|W_j|$和$|x_i|$。这里$i$表示feature的序号，因为一个mini batch中有很多张图片。$j$表示正确的label值。

$W_j^Tx_i$的计算非常简单，因为FC层的前馈计算出来的就是这个值。因此我们可以直接从FC的前馈结果中直接复制对应位置的结果。

$|W_j|$和$|x_i|$是比较简单的模值的计算，使用caffe_cpu_dot很容易就可以求得（为什么不使用caffe_gpu_dot呢？因为小喵在使用caffe_gpu_dot的时候，caffe会报一个奇怪的错误，不知道是不是因为GPU的显存不能随意访问的）。

最后的余弦值带入到上面的式子，就一下子搞定~

这里用到了几个变量：

M_: batch size

N_: class num

K_: feature length

// w * x
// 直接从前馈的结果中复制
Dtype *wx_data = this->wx_.mutable_gpu_data();
copy_label_score<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(M_, N_, label_data, top_data, wx_data);

// w * w
Dtype *abs_w_data = this->abs_w_.mutable_cpu_data();
for (int m = 0; m < M_; ++ m) {
  abs_w_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
    K_,
    this->blobs_[0]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_,
    this->blobs_[0]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_
    );
}

// x * x
Dtype *abs_x_data = this->abs_x_.mutable_cpu_data();
for (int m = 0; m < M_; ++ m) {
  abs_x_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
    K_, 
    bottom[0]->cpu_data() + m * K_,
    bottom[0]->cpu_data() + m * K_
    );
}
// abs_w, abs_x
caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_w_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_w_.mutable_gpu_data());
caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_x_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_x_.mutable_gpu_data());

// cos_t = wx / (|x| * |w|)
Dtype *cos_t_data = this->cos_t_.mutable_gpu_data();
caffe_gpu_div<Dtype>(M_, wx_data, this->abs_x_.gpu_data(), cos_t_data);
caffe_gpu_div<Dtype>(M_, cos_t_data, this->abs_w_.gpu_data(), cos_t_data);

其中copy_label_score是我们自己编写的用来复制结果的核函数（如何编写Cuda程序就是另一门学科了）：

template <typename Dtype>
__global__ void copy_label_score(const int M, const int N, const Dtype *label_data, const Dtype *top_data, Dtype *wx_data) {
  CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
    wx_data[index] = top_data[index * N + static_cast<int>(label_data[index])];
  }
}

相信机智如你的喵粉，看到这几行代码，一定可以轻松理解。

这里，小喵想多介绍一点东西。
我们知道Caffe里面的数据都是通过Blob结构来存储的，比如这里的bottom_data，其实就是一个blob，默认形状是(n, c, h, w)，n表示的就是batch size，c是channel数，h，w分贝表示高和宽。而且blob中的内存的存储顺序，也和一般的C语言中的数组一样。因此我们这里计算feature的模的时候，是直接每K_个数值计算一次点乘。
同理，weight是存储在this->blobs[0]中的，那么weight的形状又是什么样子的呢？这里非常碰巧的是，如果我们在prototxt中设置的transpose为false的话，weight的形状是N_*K_，也就是说，我们可以将weight看成一个矩阵，它的每一行都与feature直接点乘，得到输出，也就是说weight的每一行都是我们需要计算模值的$W_j$，所以我们计算weight的模的时候，用的计算方法和计算feature模时很相似。我们这里强制设置transpose为false，因为这样计算会比较简单。如果你设成了true，那就必须自己写个求模的函数了。

2，$cos(m heta_i)=sum_n(-1)^n{C_m^{2n}cos^{m-2n}( heta_i)cdot(1-cos( heta_i)^2)^n}, (2nleq m)$

我们在(1)中求出了$cos( heta)$，对于给定的margin，只需要代入公式就可以求出$cos(m heta)$的值了。

template <typename Dtype>
__global__ void cal_cos_mt(const int count, const unsigned int margin, const int *C_M_N, const Dtype *cos_t_data, Dtype *cos_mt_data) {
  CUDA_KERNEL_LOOP(index, count) {
    Dtype cos_t = cos_t_data[index];
    Dtype sin_t_2 = 1 - cos_t * cos_t;
    Dtype cos_mt = 0.;
    int flag = -1;
    for (int n = 0; n <= (margin / 2); ++ n) {
      flag *= -1;
      cos_mt += flag * C_M_N[2 * n] * powf(cos_t, (margin - 2 * n)) * powf(sin_t_2, n);
    }
    cos_mt_data[index] = cos_mt;
  }
}

上面是用来计算$cos(m heta)$的cuda函数，调用也十分的简单：

// cos(mt)
cal_cos_mt<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
  M_, this->margin, this->C_M_N_.gpu_data(), this->cos_t_.mutable_gpu_data(), this->cos_mt_->mutable_gpu_data());

3，$f_{y_{i}}=(-1)^kcdot|W_{y_{i}}||x_{i}|cos(m heta_i)-2kcdot|W_{y_i}||x_i|$

严格上来说，我们需要求的并不是这个式子，而是：

[f_{y_i}=frac{lambda|W_{y_i}||x_i|cos( heta_{y_i})+|W_{y_i}||x_i|varphi( heta_{y_i})}{1+lambda}]

[varphi( heta)=(-1)^kcos(m heta)-2k, hetain[frac{kpi}{m}, frac{(k+1)pi}{m}]]

可以看出，当$lambda$为0的时候，这两个式子就退化成前面的一个式子了。

k的求法十分简单，只需要将$cos( heta)$与各个区间进行比较就可以得到。

// k
int *k_cpu_data = this->k_.mutable_cpu_data();
const Dtype *cos_t_cpu_data = this->cos_t_.cpu_data();
for (int m = 0; m < M_; ++ m) {
  for (int _k = 0; _k < this->cos_theta_bound_.count(); ++ _k) {
    if (this->cos_theta_bound_.cpu_data()[_k] < cos_t_cpu_data[m]) {
      k_cpu_data[m] = _k - 1;
      break;
    }
  }
}

最后一步就是计算出真正的前馈值了！按照公式容易编写程序：

template <typename Dtype>
__global__ void LMForward(
  const int M, const int N, const float lambda,
  const Dtype *label_data, const Dtype *cos_mt_data, const int *k_data,
  const Dtype *abs_w_data, const Dtype *abs_x_data, Dtype *top_data) {

  CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
    Dtype cos_mt = cos_mt_data[index];
    int k = k_data[index];
    int label = static_cast<int>(label_data[index]);
    Dtype abs_w = abs_w_data[index];
    Dtype abs_x = abs_x_data[index];
    top_data[N * index + label] =  (lambda * top_data[N * index + label] + abs_w * abs_x * ( powf(-1, k) * cos_mt - 2 * k )) / (1 + lambda);
  }
}

调用也十分简单：

// y
LMForward<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
  M_, N_, this->lambda,
  label_data, this->cos_mt_->gpu_data(), this->k_.gpu_data(),
  this->abs_w_.gpu_data(), this->abs_x_.gpu_data(), top[0]->mutable_gpu_data());

最后附上，完整的前馈代码（省略头文件和caffe的名字空间）：

template <typename Dtype>
__global__ void copy_label_score(const int M, const int N, const Dtype *label_data, const Dtype *top_data, Dtype *wx_data) {
  CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
    wx_data[index] = top_data[index * N + static_cast<int>(label_data[index])];
  }
}

template <typename Dtype>
__global__ void cal_cos_mt(const int count, const unsigned int margin, const int *C_M_N, const Dtype *cos_t_data, Dtype *cos_mt_data) {
  CUDA_KERNEL_LOOP(index, count) {
    Dtype cos_t = cos_t_data[index];
    Dtype sin_t_2 = 1 - cos_t * cos_t;
    Dtype cos_mt = 0.;
    int flag = -1;
    for (int n = 0; n <= (margin / 2); ++ n) {
      flag *= -1;
      cos_mt += flag * C_M_N[2 * n] * powf(cos_t, (margin - 2 * n)) * powf(sin_t_2, n);
    }
    cos_mt_data[index] = cos_mt;
  }
}

template <typename Dtype>
__global__ void LMForward(
  const int M, const int N, const float lambda,
  const Dtype *label_data, const Dtype *cos_mt_data, const int *k_data,
  const Dtype *abs_w_data, const Dtype *abs_x_data, Dtype *top_data) {

  CUDA_KERNEL_LOOP(index, M) {
    Dtype cos_mt = cos_mt_data[index];
    int k = k_data[index];
    int label = static_cast<int>(label_data[index]);
    Dtype abs_w = abs_w_data[index];
    Dtype abs_x = abs_x_data[index];
    top_data[N * index + label] =  (lambda * top_data[N * index + label] + abs_w * abs_x * ( powf(-1, k) * cos_mt - 2 * k )) / (1 + lambda);
  }
}

template <typename Dtype>
void LargeMarginInnerProductLayer<Dtype>::Forward_gpu(const vector<Blob<Dtype>*>& bottom,
    const vector<Blob<Dtype>*>& top) {
  const Dtype* bottom_data = bottom[0]->gpu_data();
  const Dtype* label_data = bottom[1]->gpu_data();
  Dtype* top_data = top[0]->mutable_gpu_data();
  const Dtype* weight = this->blobs_[0]->gpu_data();

  // 普通fc层的计算
  if (M_ == 1) {
    caffe_gpu_gemv<Dtype>(CblasNoTrans, N_, K_, (Dtype)1.,
                         weight, bottom_data, (Dtype)0., top_data);
  } else {
    caffe_gpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans,
                          transpose_ ? CblasNoTrans : CblasTrans,
                          M_, N_, K_, (Dtype)1.,
                          bottom_data, weight, (Dtype)0., top_data);
  }

  const Dtype* label_cpu_data = bottom[1]->cpu_data();

  // w * x
  // 直接从前馈的结果中复制
  Dtype *wx_data = this->wx_.mutable_gpu_data();
  copy_label_score<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(M_, N_, label_data, top_data, wx_data);

  // w * w
  Dtype *abs_w_data = this->abs_w_.mutable_cpu_data();
  for (int m = 0; m < M_; ++ m) {
    abs_w_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
      K_,
      this->blobs_[0]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_,
      this->blobs_[0]->cpu_data() + static_cast<int>(label_cpu_data[m]) * K_
      );
  }
  
  // x * x
  Dtype *abs_x_data = this->abs_x_.mutable_cpu_data();
  for (int m = 0; m < M_; ++ m) {
    abs_x_data[m] = caffe_cpu_dot<Dtype>(
      K_, 
      bottom[0]->cpu_data() + m * K_,
      bottom[0]->cpu_data() + m * K_
      );
  }

  // abs_w, abs_x
  caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_w_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_w_.mutable_gpu_data());
  caffe_gpu_powx<Dtype>(M_, this->abs_x_.mutable_gpu_data(), 0.5, this->abs_x_.mutable_gpu_data());

  // cos_t = wx / (|x| * |w|)
  Dtype *cos_t_data = this->cos_t_.mutable_gpu_data();
  caffe_gpu_div<Dtype>(M_, wx_data, this->abs_x_.gpu_data(), cos_t_data);
  caffe_gpu_div<Dtype>(M_, cos_t_data, this->abs_w_.gpu_data(), cos_t_data);

  // cos(mt)
  cal_cos_mt<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
    M_, this->margin, 
    this->C_M_N_.gpu_data(), 
    this->cos_t_.gpu_data(),
    this->cos_mt_.mutable_gpu_data()
    );

  // k
  int *k_cpu_data = this->k_.mutable_cpu_data();
  const Dtype *cos_t_cpu_data = this->cos_t_.cpu_data();
  for (int m = 0; m < M_; ++ m) {
    for (int _k = 0; _k < this->cos_theta_bound_.count(); ++ _k) {
      if (this->cos_theta_bound_.cpu_data()[_k] < cos_t_cpu_data[m]) {
        k_cpu_data[m] = _k - 1;
        break;
      }
    }
  }

  // y
  LMForward<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(M_), CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(
    M_, N_, this->lambda,
    label_data, this->cos_mt_.gpu_data(), this->k_.gpu_data(),
    this->abs_w_.gpu_data(), this->abs_x_.gpu_data(), top[0]->mutable_gpu_data());
}

那么，这样关于large margin softmax loss的前馈我们就轻松的实现了。下一篇，我们要讲最复杂的后馈的实现了。

如果您觉得本文对您有帮助，那请小喵喝杯茶吧~~O(∩_∩)O~~ 再次感慨 $LaTeX$ 大法好。

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