这里假设读者具有自适应滤波器的基础知识。Speex的AEC是以NLMS为基础，用MDF频域实现，最终推导出最优步长估计：残余回声与误差之比。最优步长等于残余回声方差与误差信号方差之比，这个结论可以记下，下面会用到的。
对于长度为N的NLMS滤波器，误差信号定义为期望信号与估计信号之差，表示如下：
[e(n) = d(n) - hat y(n) = d(n) - sumlimits_{k = 0}^{N - 1} {{{hat w}_k}(n)x(n - k)} ]
则，滤波器的系数更新方程为：
[{hat w_k}(n + 1) = {hat w_k}(n) + mu frac{{e(n){x^*}(n - k)}}{{sum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }} = {hat w_k}(n) + mu frac{{(d(n) - sum olimits_i {{{hat w}_i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{sum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}]
设滤波器的系数误差为：
[{delta _k}(n) = {hat w_k}(n) - {w_k}(n)]
且期望信号为本地（近端）语音+残余回声
[d(n) = v(n) + sum olimits_k {{w_k}(n)x(n - k)} ]
则滤波器的系数更新方程可以重写为
[{delta _k}(n + 1) = {delta _k}(n) + mu frac{{(v(n) - sum olimits_i {{delta _i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{sum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}]
如果每个时刻的失调定义为：
[Lambda (n) = sum olimits_k {delta _k^*(n){delta _k}(n)} ]
那么，在每一步的迭代中，滤波器的失调可表示如下：
[Lambda (n + 1) = sumlimits_{k = 0}^{N - 1} {|{delta _k}(n) + mu frac{{(v(n) - sum olimits_i {{delta _i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{sum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}{|^2}} ]
假设远端信号与近端信号为白噪声，且不相关。
[sigma _v^2 = E{ |v(n){|^2}} ]
为近端语音信号的方差，则失调的更新方程为
[E{ Lambda (n + 1)|Lambda (n),x(n)} = Lambda (n)left[ {1 - frac{{2mu }}{N} + frac{{{mu ^2}}}{N} + frac{{2{mu ^2}sigma _v^2}}{{Lambda (n)sum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}} ight]]
这里失调函数
[E{ Lambda (n + 1)|Lambda (n),x(n)} ]
为凸函数，对它关于步长求导，并置导数为0，可得：
[frac{{partial E{ Lambda (n + 1)} }}{{partial mu }} = frac{{ - 2}}{N} + frac{{2mu }}{N} + frac{{2mu sigma _v^2}}{{Lambda (n)sum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }} = 0]
最终推出最优步长为：
[{mu _{opt}}(n) = frac{1}{{1 + frac{{sigma _v^2}}{{Lambda (n)/Nsum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}}}]
大家别看最下面的那个分母
[Lambda (n)/Nsum olimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} ]
式子挺长，其实意义很明确，可以近似理解为残余回声的方差，于是输出信号的方差为：近端语音的方差+残余回声的方差，用式子表示如下
[sigma _e^2(n) = sigma _v^2(n) + sigma _r^2(n)]
最终，导出最优步长：
[{mu _{opt}}(n) = frac{1}{{1 + frac{{sigma _v^2}}{{sigma _r^2(n)}}}} = frac{1}{{frac{{sigma _r^2(n) + sigma _v^2}}{{sigma _r^2(n)}}}} approx frac{{sigma _r^2(n)}}{{sigma _e^2(n)}}]
[{mu _{opt}}(n) = min left( {frac{{hat sigma _r^2(n)}}{{hat sigma _e^2(n)}},1} ight)]
上面的分析是在时域，基于NLMS，可以看到：最优步长等于残余回声方差与误差信号方差之比。其中误差的方差比较好求，残余回声的方差比较难求。下面我们看下上面的结论在频域中如何解决，Speex中在频域的自适应算法为：MDF（multidelay block frequency domain）自适应滤波。
在频域中，设k为频率索引，字母（ell）为帧索引，上面的结论转换到频域，结果如下：
[{mu _{opt}}(k,ell ) approx frac{{sigma _r^2(k,ell )}}{{sigma _e^2(k,ell )}}]
那么，在频域如何求残余回声的方差呢，我们可以定义一个泄露系数，表示回声相对于远端信号的泄露程度，这时残余回声表示为
[sigma _r^2(k,ell ){ m{ = }}hat eta (ell )hat sigma _{hat Y}^2(k,ell )]
根据泄露系数求出残余回声，就可以得到最优步长
[{mu _{opt}}(n) = min left( {hat eta (ell )frac{{|hat Y(k,ell ){|^2}}}{{|E(k,ell ){|^2}}},{mu _{max }}} ight)]
也就是说，根据泄露系数，可以估计出远端信号的残余回声，进而可以得到最优步长，那么，带来另一个问题，这里的泄露系数如何估计呢？确定泄露系数的过程，其实就是一元线性回归分析中确定回归系数的过程，具体可以看下回归分析的内容。
[hat eta (ell ) = frac{{sum olimits_k {{R_{EY}}(k,ell )} }}{{sum olimits_k {{R_{YY}}(k,ell )} }}]
[{R_{EY}}(k,ell ) = (1 - eta (ell )){R_{EY}}(k,ell ) + eta (ell ){P_Y}(k){P_E}(k)]
[{R_{YY}}(k,ell ) = (1 - eta (ell )){R_{YY}}(k,ell ) + eta (ell ){P_Y}(k){({P_Y}(k))^2}]
[eta (ell ) = {eta _0}min (frac{{hat sigma _Y^2(ell )}}{{hat sigma _e^2(ell )}},1)]
这里， 是通过递归平均处理方法得到每个频点的自相关、输入信号与误差信号的互相关。最终得到泄露系数，具体实现可以参考speex 的代码实现，相关参数可以参考后面给出来参考论文。
Speex的回声消除原理已经分析完了，最终得出结论是：只有改与泄露系数相关部分的代码，才是对效果影响最大的地方，因为根据泄露系数，最终会估计出滤波器的最优步长。
参考论文：On Adjusting the Learning Rate in Frequency Domain Echo Cancellation With Double-Talk