数据结构（二叉树）

相关术语：

树的结点：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；

孩子结点：左孩子，右孩子

双亲结点：B 结点是A 结点的孩子，则A结点是B 结点的双亲；

兄弟结点：同一双亲的孩子结点； 堂兄结点：同一层上结点；

祖先结点: 父节点，父节点的父节点，父节点的父节点的父节点等

结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；

树的深度：树中最大的结点层

结点的度：结点子树的个数

树的度： 树中最大的结点度。

叶子结点：也叫终端结点，是度为 0 的结点；

分枝结点：度不为0的结点；

有序树：子树有序的树，如：家族树；

无序树：不考虑子树的顺序；

1.定义

  二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。子树具有左右之分，次序不能颠倒，一般称作“左子树”和“右子树”。二叉树常用来实现二叉查找和二叉堆。

性质：二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，度为0的节点数逼度为2的节点数多1.（度为2代表有两个子树）

证明如下：

       因为二叉树所有结点滴个数都不大于2,所以结点总数n=n0+n1+n2 (1)又因为度为1和度为2的结点分别有1个子树和2个子树,所以,二叉树中子树结点就有n(子）=n1+2n2二叉树中只有根节点不是子树结点,所以二叉树结点总数n=n(子）+1 即 n=n1+2n2+1 (2)结合（1）式和（2）式就得n0=n2+1

面试题：如果一个完全二叉树的结点总数为768个，求叶子结点的个数。

由二叉树的性质知：n₀=n₂+1，将之带入768=n₀+n₁+n₂中得：768=n₁+2n₂+1，因为完全二叉树度为1的结点个数要么为0，要么为1，那么就把n₁=0或者1都代入公式中，很容易发现n₁=1才符合条件。所以算出来n₂=383，所以叶子结点个数n₀=n₂+1=384。

总结规律：如果一棵完全二叉树的结点总数为n，那么叶子结点等于n/2（当n为偶数时）或者(n+1)/2（当n为奇数时）

具有n个结点的完全二叉树的深度为（注：[ ]表示向下取整）

2.类型

(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。

特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

 

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。（我理解的是结点全部填满）

 

(3)平衡二叉树——平衡二叉树又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

(4)二叉搜索树：二叉查找树又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x结点包含关键字key，结点x的key值计为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]<=key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y]>=key[x]

在二叉查找树中：

（1）若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。

（2）任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

（3）任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树。

（4）没有键值相等的结点

 

辨析：

二叉树不是树的一种特殊情形，尽管其与树有许多相似之处，但树和二叉树有两个主要差别：

1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；

2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

 

3.便利顺序

       （访问根节点的次序）

1. 先序遍历
2. 中序遍历
3. 后序遍历
4. 层次便利：即按照层次访问，通常用队列来做。访问根，访问子女，再访问子女的子女（越往后的层次越低）（两个子女的级别相同）