版权申明：本文转自 Monica
首先，分块是什么意思呢，顾名思义就是把要处理的东西进行分块，分成一块一块的233，举个很简单的例子，对于一个数列 size（a{ }）=5，我们可以把前2个分到一起，再两个分到一起，最后单下来一个，为什么要这样处理呢？这样处理的好处又是什么呢？
我们也可以这样思考，如果我们把一个数列，当该数列的长度为n的时候，我们以根号n为一段，分出来的段数不超过根号n，如果我们要进行区间的处理，比如加法减法等，可以对于修改区间[
L , R
]可以把其中框起来的块（一块是根号n的大小）直接打上标记，由于每一块的长度不大于根号n，所以对于两边没有框起来的部分，我们直接暴力地进行更新，这样操作次数是最多2倍根号n的，而中间的标记是O（1）处理的，这就是为什么该类算法是根号级别的原因
思路看起来很清晰吧，好像很简单的样子，那么我们马上就来试试吧
以黄学长的分块学习顺序为例
（本文的所有题目，均来自黄学长，www.hzwer.com）
我们先进行区间修改单点查询操作
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 #include<cmath>
5 #define MAXN 100000
6 using namespace std;
7 int a[MAXN],add[MAXN],b[MAXN],len,n,m;//add为标记
8 void modify(int l,int r,int ad){
9 for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad;
10 if(b[l]!=b[r]){//注意此处的min操作，可能会在小数据卡到你
11 for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad;
12 }
13 for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++)add[i]+=ad;
14 }
15 int main(){
16 scanf("%d%d",&n,&m);
17 len=sqrt(n);
18 for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
19 for(register int i=1;i<=n;i++)b[i]=(i-1)/len+1;
20 for(register int i=1;i<=m;i++){
21 int temp;
22 scanf("%d",&temp);
23 if(temp==1){
24 int l,r,ad;
25 scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
26 modify(l,r,ad);
27 }else{
28 int loc;
29 scanf("%d",&loc);
30 printf("%d
",a[loc]+add[b[loc]]);
31 }//该点的值和该店所在的区间累加的标记
32 }
33 return 0;
34 }
接下来是区间修改，区间查询小于某值的数有多少个
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<vector> #include<cmath> #define MAXN 1000000+10 #define MINN 5000 using namespace std; vector<int>v[MINN]; int len,a[MAXN],b[MAXN],add[MINN]; void reset(int zone){ v[zone].clear(); for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) v[zone].push_back(a[i]); sort(v[zone].begin(),v[zone].end()); } void modify(int l,int r,int ad){ for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad; reset(b[l]); if(b[l]!=b[r]){ for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad; reset(b[r]); } for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++) add[i]+=ad; } int query(int l,int r,int k){ int cnt=0; for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++){ if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++; } if(b[l]!=b[r]){ for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++){ if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++; } } for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++){ int x=k-add[i]; cnt+=lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),x)-v[i].begin(); } return cnt; } int main(){ int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); len=sqrt(n); for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(register int i=1;i<=n;i++){ b[i]=(i-1)/len+1; v[b[i]].push_back(a[i]); } for(register int i=1;i<=b[n];i++) sort(v[i].begin(),v[i].end()); for(register int i=1;i<=m;i++){ int temp; scanf("%d",&temp); if(temp==1){ int l,r,ad; scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad); modify(l,r,ad); }else{ int l,r,k; scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); printf("%d ",query(l,r,k)); } } return 0; }
接着是第三个问题
区间修改，查区间内某个数的前驱，如果没有则返回0
这个问题和上个问题类似，只不过由于需要查前驱，vector不能做到（只能upper _ bound和lower _ bound），而vector是支持元素可重的，这样一来无法得知其前驱（因为lower _ bound是返回第一个大于他的元素的迭代器，upper _ bound是返回值第一个大于他并且在可重范围内的最后一个数），所以只需把数据结构改成set就好了，因为set是不可重集
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<set> 5 #include<cmath> 6 #define MAXN 100000 7 #define MINN 1000 8 using namespace std; 9 int len,n,m; 10 set<int>s[MINN]; 11 int add[MINN]; 12 int a[MAXN],be[MAXN]; 13 void reset(int loc){ 14 s[loc].clear(); 15 for(register int i=(loc-1)*len+1;i<=loc*len;i++) s[loc].insert(a[i]); 16 } 17 void modify(int from,int to,int ad){ 18 for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad; 19 reset(be[from]); 20 if(be[from]!=be[to]){ 21 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad; 22 reset(be[to]); 23 } 24 for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad; 25 } 26 int query(int from,int to,int k){ 27 int cnt=0; 28 for(register int i=from;i<=min(be[from]*len,to);i++)if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]); 29 if(be[from]!=be[to]){ 30 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]); 31 } 32 for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){ 33 int x=k-add[i]; 34 set<int>::iterator loc=s[i].lower_bound(x); 35 if(loc==s[i].begin()) continue; 36 loc--; 37 cnt=max(cnt,*loc+add[i]); 38 } 39 return cnt; 40 } 41 int main(){ 42 //freopen(".txt","r",stdin); 43 //freopen(".out","w",stdout); 44 scanf("%d%d",&n,&m); 45 len=sqrt(n); 46 for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); 47 for(register int i=1;i<=n;i++){ 48 be[i]=(i-1)/len+1; 49 s[be[i]].insert(a[i]); 50 } 51 for(register int i=1;i<=m;i++){ 52 int temp; 53 scanf("%d",&temp); 54 if(temp==1){ 55 int l,r,ad; 56 scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad); 57 modify(l,r,ad); 58 }else{ 59 int l,r,k; 60 scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); 61 printf("%d ",query(l,r,k));//0表示没有 62 } 63 } 64 return 0; 65 } 66 /* 67 10 5 68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 69 2 1 9 9 70 1 1 3 2 71 2 1 4 5 72 */
和前面一样，打mark就行了
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<cmath> 5 #define MAXN 100000 6 #define MINN 1000 7 using namespace std; 8 int len; 9 int n,m; 10 int a[MAXN],add[MINN],val[MINN],be[MAXN]; 11 void modify(int from,int to,int ad){ 12 for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad,val[be[from]]+=ad; 13 if(be[from]!=be[to]){ 14 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad,val[be[to]]+=ad; 15 } 16 for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad; 17 } 18 int query(int from,int to){ 19 int cnt=0; 20 for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=(a[i]+add[be[from]]); 21 if(be[from]!=be[to]){ 22 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=(a[i]+add[be[to]]); 23 } 24 for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=(val[i]+add[i]*len); 25 return cnt; 26 } 27 int main(){ 28 //freopen(".txt","r",stdin); 29 //freopen(".out","w",stdout); 30 scanf("%d%d",&n,&m); 31 len=sqrt(n); 32 for(register int i=1;i<=n;i++)be[i]=(i-1)/len+1; 33 for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),val[be[i]]+=a[i]; 34 for(register int i=1;i<=m;i++){ 35 int temp; 36 scanf("%d",&temp); 37 if(temp==1){ 38 int f,t,ad; 39 scanf("%d%d%d",&f,&t,&ad); 40 modify(f,t,ad); 41 }else{ 42 int f,t; 43 cin>>f>>t; 44 printf("%d ",query(f,t)); 45 } 46 } 47 return 0; 48 }
区间开方，区间求和
我们可以考虑一个数，在保留int的情况下，只需要几次就会开方到1或者0，所以我们只需要记录一个块是否全部是0或者1就行了，因为再进行操作不会对其进行修改
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<cmath> 5 #define MAXN 10000 6 #define MINN 1000 7 using namespace std; 8 int n,m,be[MAXN],a[MAXN]; 9 int val[MINN]; 10 bool flag[MAXN]; 11 int len; 12 void sqrtt(int zone){ 13 if(flag[zone]) return; 14 flag[zone]=true; 15 val[zone]=0; 16 for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++){ 17 a[i]=sqrt(a[i]); 18 val[zone]+=a[i]; 19 if(a[i]>1)flag[zone]=false; 20 } 21 } 22 void modify(int from,int to){ 23 for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ 24 val[be[from]]-=a[i]; 25 a[i]=sqrt(a[i]); 26 val[be[from]]+=a[i]; 27 } 28 if(be[from]!=be[to]){ 29 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ 30 val[be[to]]-=a[i]; 31 a[i]=sqrt(a[i]); 32 val[be[to]]+=a[i]; 33 } 34 } 35 for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) sqrtt(i); 36 } 37 int query(int from,int to){ 38 int cnt=0; 39 for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=a[i]; 40 if(be[from]!=be[to]){ 41 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=a[i]; 42 } 43 for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=val[i]; 44 return cnt; 45 } 46 int main(){ 47 //freopen("sqrt.txt","r",stdin); 48 //ios::sync_with_stdio(false); 49 cin>>n>>m; 50 len=sqrt(n); 51 for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1; 52 for(register int i=1;i<=n;i++){ 53 scanf("%d",&a[i]); 54 val[be[i]]+=a[i]; 55 } 56 for(register int i=1;i<=m;i++){ 57 int temp; 58 scanf("%d",&temp); 59 if(temp==1){ 60 int f,t; 61 cin>>f>>t; 62 modify(f,t); 63 }else{ 64 int f,t; 65 cin>>f>>t; 66 printf("%d ",query(f,t)); 67 } 68 } 69 return 0; 70 }
区间乘法，区间加法和区间查询
其实这道题有一个更简单的做法，把乘法转化为加法，比如乘n可以想成加这个数的n-1倍，注意程序中mul（乘法）lazy数组和add（加法）lazy数组的转化
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<cmath> 5 #define MAXN 100000 6 #define MINN 1000 7 using namespace std; 8 9 int n,m,be[MAXN],a[MAXN]; 10 int val[MINN],mark[MINN]; 11 int len; 12 void reset(int zone){ 13 if(mark[zone]==-1) return; 14 for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) a[i]=mark[zone]; 15 mark[zone]=-1; 16 } 17 int solve(int from,int to,int c){ 18 int cnt=0; 19 reset(be[from]); 20 for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ 21 if(a[i]==c) cnt++; 22 else a[i]=c; 23 } 24 if(be[from]!=be[to]){ 25 reset(be[to]); 26 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ 27 if(a[i]==c) cnt++; 28 else a[i]=c; 29 } 30 } 31 for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){ 32 if(mark[i]!=-1){ 33 if(mark[i]==c){ 34 cnt+=len; 35 }else{ 36 mark[i]=c; 37 } 38 }else{ 39 for(register int j=(i-1)*len+1;j<=i*len;j++){ 40 if(a[j]==c) cnt++; 41 else a[j]=c; 42 } 43 } 44 } 45 return cnt; 46 } 47 int main(){ 48 //freopen("query.txt","r",stdin); 49 cin>>n>>m; 50 len=sqrt(n); 51 memset(mark,-1,sizeof(mark)); 52 for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1; 53 for(register int i=1;i<=n;i++){ 54 scanf("%d",&a[i]); 55 val[be[i]]+=a[i]; 56 } 57 for(register int i=1;i<=m;i++){ 58 int f,t,c; 59 scanf("%d%d%d",&f,&t,&c); 60 printf("%d ",solve(f,t,c)); 61 } 62 return 0; 63 } 64 /* 65 5 6 66 1 2 3 4 5 67 1 3 2 68 // 1->2 2 2 4 5 69 1 4 2 70 // 3->2 2 2 2 5 71 1 2 3 72 // 0->3 3 2 2 5 73 1 5 2 74 // 2->2 2 2 2 2 75 1 2 4 76 // 0->4 4 2 2 2 77 2 5 4 78 // 1-> 4 4 4 4 4 79 */
最后一个是求区间众数
注意其中的lower_bound和upper _bound的操作，非常的巧妙，可以算出该区间该数为多少个，程序中的二元数组则是代表第i个块到第j个块的众数
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cmath> 4 #include<vector> 5 #include<cstring> 6 #include<iostream> 7 #include<algorithm> 8 #include<map> 9 #define MAXN 50000+10 10 #define MINN 500+10 11 using namespace std; 12 map<int,int>m; 13 vector<int>v[MAXN]; 14 int val[MAXN]; 15 int len,n,mm; 16 int cnt[MINN][MINN]; 17 int ccnt; 18 int rock[MAXN]; 19 int a[MAXN],be[MAXN]; 20 void pre(int zone){ 21 memset(rock,0,sizeof(rock)); 22 int maxn=0,loc=0; 23 for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=n;i++){ 24 rock[a[i]]++; 25 if(rock[a[i]]>maxn||(rock[a[i]]==maxn&&val[a[i]]<val[loc])){ 26 loc=a[i]; 27 maxn=rock[a[i]]; 28 } 29 cnt[zone][be[i]]=loc; 30 } 31 } 32 int query(int from,int to,int x){ 33 int temp=upper_bound(v[x].begin(),v[x].end(),to)-lower_bound(v[x].begin(),v[x].end(),from); 34 return temp; 35 } 36 int query(int from,int to){ 37 int ans=cnt[be[from]+1][be[to]-1]; 38 int maxn=query(from,to,ans); 39 for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ 40 int temp=query(from,to,a[i]); 41 if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){ 42 ans=a[i]; 43 maxn=temp; 44 } 45 } 46 if(be[from]!=be[to]){ 47 for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ 48 int temp=query(from,to,a[i]); 49 if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){ 50 ans=a[i]; 51 maxn=temp; 52 } 53 } 54 } 55 return ans; 56 } 57 int main(){ 58 //freopen("txt.txt","r",stdin); 59 scanf("%d%d",&n,&mm); 60 len=sqrt(n); 61 int ans=0; 62 for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1; 63 for(register int i=1;i<=n;i++){ 64 scanf("%d",&a[i]); 65 if(!m[a[i]]){ 66 m[a[i]]=++ccnt; 67 val[ccnt]=a[i];//注意这里的离散化并不是需要排序,而只是给每一个数一个编号 68 } 69 a[i]=m[a[i]];//给数列的每个数一个编号 70 v[a[i]].push_back(i);//该编号的数的位置加入一个i 71 } 72 for(register int i=1;i<=be[n];i++) pre(i);//对每个块进行pre操作 73 for(register int i=1;i<=mm;i++){ 74 int aa,bb; 75 scanf("%d%d",&aa,&bb); 76 aa=(aa+ans-1)%n+1;bb=(bb+ans-1)%n+1; 77 if(aa>bb)swap(aa,bb); 78 ans=val[query(aa,bb)]; 79 printf("%d ",ans); 80 } 81 return 0; 82 } 83 /* 84 20 3 85 1 0 25 14 34 1 25 25 48 8 4 4 9 8 2 2 3 3 3 10 86 1 20 87 10 16 88 4 8 89 */