问题描述
作为一个神秘的电脑高手,Farmer John 用二进制数字标识他的奶牛。然而,他有点迷信,标识奶牛用的二进制数字,必须只含有 K 位“1”(1 <= K <= 10)。 当然,每个标识数字的首位必须为“1”。FJ 按递增的顺序,安排标识数字,开始是最小可行的标识数字(由“1”组成的一个 K 位数)。不幸的是,他没有记录下标识数字。请帮他计算,第 N 个标识数字(1 <= N <= 10^7)。
输入
第 1 行:空格隔开的两个整数,N 和 K。
输出
如题,第 N 个标识数字
输入输出样例
7 3
10110
思路
我思路真的很复杂（因为我太蒻了），不过有一些是很有价值的思想
就以样例做比方，其前几个排列是：
111 1011 1101 1110 10011 10101 10110 11001 11100 ......
除了第一个，我们发现，把相同长度的分为一组，第i组内的大小为C(2+i,i) [扩展到整道题就是C( k-1+i , i )]
我们就可以通过组合数的方式快速找到第n个数属于第几组
而在某一组内如何快速找到它的位置呢？
我们就数据中长度为5的那一组分析，抛开开头的1，0的位置依次为
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
也就是求C(2+i,i)中字典序大小的第m项 (设第n个数在这一组排第m项)
显然一项一项枚举是会T掉的，那我们可以怎样判断出某一位是几？
我们设总共有L个数字可选，D个位置可填，该位填的数字为i，现在填的第step位 （例子中L=4 D=2）
那么step位填i后，后面可填的方案数为C(L-i,D-step)
如果C>=m，说明这一位就填i，下一位就从i+1开始搜
否则这一位肯定不填i，m-=C后，继续判断该位是否填i+1
这样，我们就可以以近乎O(L)地判断出来第m项了。
Code
1 #include<set> 2 #include<map> 3 #include<queue> 4 #include<stack> 5 #include<cstdio> 6 #include<cstring> 7 #include<iostream> 8 #include<algorithm> 9 #define inf (1<<30) 10 #define ll long long 11 #define RG register int 12 #define rep(i,a,b) for(RG i=a;i<=b;i++) 13 #define per(i,a,b) for(RG i=a;i>=b;i--) 14 #define maxn 1000005 15 #define lim 1000002 16 using namespace std; 17 ll N,k,cnt,dep,numlim; 18 int pri[maxn],p[maxn],vis[maxn]; 19 ll rec[1000][1000]; 20 inline ll read() 21 { 22 ll x=0,f=1;char c=getchar(); 23 while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} 24 while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();} 25 return x*f; 26 } 27 28 void pre() 29 { 30 rep(i,2,lim) 31 { 32 if(!pri[i]) p[++cnt]=i; 33 for(RG j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=lim;j++) 34 { 35 pri[i*p[j]]=1;if(!(i%p[j])) break; 36 } 37 } 38 } 39 40 ll work(ll x,ll p) 41 { 42 ll res=0; 43 while(x) res+=x/p,x/=p; 44 return res; 45 } 46 47 ll QP(ll a,ll mi) 48 { 49 ll ans=1; 50 while(mi) 51 { 52 if(mi&1) ans*=a; 53 a*=a; 54 mi>>=1; 55 } 56 return ans; 57 } 58 59 ll cnm(ll n,ll m) 60 { 61 ll ans=1; 62 for(RG i=1;p[i]<=n;i++) 63 { 64 ll _1=work(n,p[i]); 65 ll _2=work(m,p[i]); 66 ll _3=work(n-m,p[i]); 67 ans*=QP(p[i],_1-_2-_3); 68 } 69 return ans; 70 } 71 72 void pt() 73 { 74 cout<<1; 75 rep(i,1,numlim) 76 { 77 printf("%d",!vis[i]); 78 } 79 exit(0); 80 } 81 82 void dfs(int step,int st) 83 { 84 if(step>dep) 85 { 86 pt(); 87 return; 88 } 89 for(int i=st;i<=numlim;i++) 90 { 91 int nn=numlim-i,mm=dep-step,cc; 92 if(rec[nn][mm]) cc=rec[nn][mm]; 93 else rec[nn][mm]=cc=cnm(nn,mm); 94 if(cc<N){N-=cc;continue;} 95 vis[i]=1; 96 dfs(step+1,i+1); 97 vis[i]=0; 98 } 99 } 100 101 void work() 102 { 103 if(N==1){rep(i,1,k)cout<<1;return;}--N; 104 for(register ll i=k,j=1;;++i,++j) 105 { 106 ll C=cnm(i,j);rec[i][j]=C; 107 if(C>=N) {numlim=i,dep=j;break;} 108 N-=C; 109 } 110 dfs(1,1); 111 } 112 113 void work1() 114 { 115 cout<<1;rep(i,2,N) printf("0"); exit(0); 116 } 117 118 int main() 119 { 120 N=read(),k=read(); 121 if(k==1) work1(); 122 pre(); 123 work(); 124 return 0; 125 }